Pravděpodobnost

Pravděpodobnost nějakého náhodného jevu nám udává, jakou máme šanci, že daný jev nastane. Typickým příkladem může být hod klasickou hrací kostkou. Můžeme se ptát „jaká je pravděpodobnost, že nám padne číslo pět?“ Pravděpodobnost udáváme buď jako číslo z intervalu <0, 1> nebo pomocí procent, tj. od 0 % po 100 %.

Související definice

O každé opakované činnosti, která je závislá na náhodě, řekneme, že se jedná o náhodný pokus. Například hod kostkou nebo losování sportky je náhodný pokus. Dále potřebujeme množinu všech možných výsledků náhodného pokusu — to jsou všechny možnosti, které mohou u daného náhodného pokusu nastat. Například na kostce mohou padnout čísla od jedné do šesti, takže množina náhodných pokusů, kterou značíme $\omega$ (omega), by pro kostku vypadala takto: $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$. U sportky by to byly všechny kombinace, které mohou padnout.

Každou podmnožinu $A \subseteq \omega$ nazveme (náhodným) jevem. Například jev „na kostce padne sudé číslo“ bychom napsali jako A = {2, 4, 6}. Jev „na kostce padne číslo větší než pět“ bychom napsali jako A = {6} a podobně. Pokud hodíme kostkou (= provedeme pokus) a na kostce padne číslo x, pak pokud x ∈ A, řekneme, že jev nastal, v opačném případě řekneme, že jev nenastal. Pokud zůstaneme u jevu „na kostce padne sudé číslo“ a padne nám x = 2, pak x ∈ A, tedy 2 ∈ {2, 4, 6} a jev nastal.

Existují dva speciální druhy jevů: jev jistý a nemožný. Jistý jev je, pokud nastane v každém pokusu, což znamená, že $A = \omega$. U kostek by to byl jev „padne číslo menší než 7“. To určitě padne. Opakem je nemožný jev, ten by vypadal A = ∅ a slovně např. „na kostce padne květináč“. Inu, květináč nám může během hodu kostkou spadnout ze stolku, ale určitě nám nepadne květináč na kostce, protože tam jsou jen čísla 1 až 6.

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu nám říká, jak moc můžeme očekávat, že daný jev nastane. Asi všichni tušíme, že nám na kostce padne nějaké sudé číslo častěji, než přímo číslo pět. Pravděpodobnost nám toto tušení převádí do exaktních čísel. Jako první si řekneme nějaké předpoklady, které budeme potřebovat.

Nechť pro náhodný pokus platí:

• Všech možných výsledků je konečně mnoho (tj. $\omega$ je konečná množina).
• Nemohou padnout dva výsledky současně (tj. nemůžeme na kostce hodit číslo 3 a zároveň 6).
• Každý výsledek je stejně možný (tj. máme stejně velkou šanci, že hodíme na kostce číslo 4 jako že hodíme číslo 6 nebo 1).

První dvě podmínky jsou poměrně přirozené, poslední je mírně omezující, ale prozatím si s ní vystačíme. Pak můžeme říci, že pravděpodobnost jevu A, označíme P(A), je rovna

$$P(A) = \frac{|A|}{|\omega|}.$$

Jinými slovy: počet příznivých výsledků děleno počet všech výsledků. (Ta svislítka v předcházejícím vzorci znamenají velikost množiny.) Pravděpodobnost hodu sudého čísla na kostce by tak byla rovna:

$$ P(Sude) = \frac{|{2{,}4,6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac36=\frac12=0{,}5. $$

Často udáváme pravděpodobnost v podobě procent — stačí vzít námi spočítanou pravděpodobnost, vynásobit stem a přidat procenta: 0,5 · 100 % = 50 %. Padesátiprocentní pravděpodobnost nám vlastně říká, že máme stejně velkou šanci, že nám sudé číslo padne, jako že nám nepadne. Což dává smysl, když na kostce máme tři sudá a tři lichá čísla.

Jev jistý má pravděpodobnost 1, jev nemožný 0. Proč? Řekli jsme, že pro jistý jev J platí $J = \omega$ a pro nemožný jev N platí N = ∅. Pokud tyto jevy dosadíme do vzorce, získáme:

$$ P(J) = \frac{|\omega|}{|\omega|} = 1;\qquad P(N)=\frac{|\emptyset|}{|\omega|}=\frac{0}{|\omega|}=0. $$

Řešené příklady

1. Jaká je pravděpodobnost, že nám na kostce padne číslo pět? To je jednoduché, množina všech příznivých jevů je pouze A = {5}, množina všech jevů je stále $\omega = {1,2,3,4,5,6}$. Dosadíme do vzorce:

   $$ P(A) = \frac{|{5}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac16=16{,}666… \% $$

2. Jaká je pravděpodobnost, že nám na kostce padne číslo dělitelné třemi? Musíme zjistit, která čísla na kostce jsou dělitelná třemi. Jsou to pouze čísla 3 a 6, tedy množina přípustných jevů je B = {3, 6}. Pak už klasicky:

   $$ P(B) = \frac{|{3, 6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac26=\frac13=33{,}333… \% $$

3. Teď zkusíme házet dvěma kostkami zároveň. Jaká je pravděpodobnost, že na obou kostkách padne šestka? Jako první musíme spočítat $\omega$, tj. množinu všech jevů. Musíme spočítat všechny možnosti, jaké můžou nastat. Takže když nám na první kostce padne číslo 1, tak na druhé může padnout číslo 1 až 6. Tím jsme našli šest možností. Když na první kostce padne číslo 2, mohou na druhé kostce padnout opět čísla 1 až 6; tím jsme našli dalších šest možností. A tak dále pro všechna čísla, která mohou padnout na první kostce. Všechny možnosti pak vypadají takto:

   $$\begin{eqnarray} &\omega=&[1{,}1], [1{,}2], [1{,}3], [1{,}4], [1{,}5], [1{,}6], \\ &&[2{,}1], [2{,}2], [2{,}3], [2{,}4], [2{,}5], [2{,}6], \\ &&\ldots\\ &&[6{,}1], [6{,}2], [6{,}3], [6{,}4], [6{,}5], [6{,}6] \end{eqnarray}$$

   Máme celkem šest řádků a v každém řádku máme šest možností. Celkem dostáváme 6 · 6 = 36 možností, které nám mohou na kostce padnout. Kolik z nich bude zároveň v množině příznivých výsledků? Pouze jedna možnost, konkrétně [6, 6], protože chceme, ať nám padnou dvě šestky. Dostáváme tak pravděpodobnost:

   $$ P(C) = \frac{|{[6, 6]}|}{|\omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

4. Jaká je pravděpodobnost, že nám při hodu dvěma kostkami padne na obou stejné číslo? Počet všech možných výsledků je stále 36, viz minulý příklad. Kolik ale je příznivých výsledků? Pouze v šesti případech spadne na obou kostkách stejné číslo: D = {[1, 1], [2, 2], …, [6, 6]}. Dosadíme do vzorce:

   $$ P(D) = \frac{|D|}{|\omega|}=\frac{6}{36}=\frac16=16{,}666… \% $$

5. Jaká je pravděpodobnost, že nám při hodu dvěma kostkami, bílé a černé, padne na bílé kostce 3 a na černé kostce 5? Velikost $\omega$ je stále 36. Jak vypadá množina příznivých jevů E? Obsahuje právě pouze možnost [3, 5], tedy pravděpodobnost je rovna

   $$ P(E) = \frac{|E|}{|\omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

6. Jaká je pravděpodobnost, že nám při hodu dvěma kostkami, bílé a černé, padnou čísla 3 a 5? Tento příklad je podobný předchozímu, pouze nevyžadujeme, aby číslo 3 padlo na bílé kostce a číslo 5 na černé kostce. Zkrátka na jedné z těch kostek musí padnout 3 a na té zbývající číslo 5. Tím dostáváme více možností: kromě [3, 5] máme i možnost [5, 3]. Pravděpodobnost tohoto jevu F je tak rovna:

   $$ P(F) = \frac{|F|}{|\omega|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5{,}555… \% $$

7. Jaká je pravděpodobnost, že nám při hodu dvěma kostkami padne alespoň jedna šestka? Půjdeme na to postupně: pokud nám padne šestka na první kostce, pak na druhé kostce mohou padnout čísla 1 až 5. To je pět možností. Pokud padne šestka na druhé kostce, mohou na první kostce padnout čísla 1 až 5. To je dalších pět možností. A nakonec může šestka padnout na obou kostkách — to je další jedna možnost. Celkem tak máme 5 + 5 + 1 = 11 možností. Množina přípustných jevů G tak vypadá takto: G = {[6, 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4], [6, 5], [1, 6], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6], [6, 6]}. Dostáváme pravděpodobnost:

   $$ P(G) = \frac{|G|}{|\omega|}=\frac{11}{36}=30{,}555… \% $$

8. Ve třídě je 30 žáků. Jaká je pravděpodobnost, že žák Ondřej bude vyvolán v dějepise, pokud pančelka zkouší vždy dva žáky za hodinu a dosud ještě nikdo nebyl vyvolán? Abychom spočítali pravděpodobnost, potřebujeme vypočítat, kolik existuje různých dvojic žáků a kolik existuje různých dvojic žáků, kde jedním z dvojice je Ondřej. Protože nezáleží na pořadí, v jakém bude žáky pančelka vyvolávat, tak použijeme kombinace.

   Teď už to bude jednoduché. Máme celkem 30 žáků a ptáme se, kolik různých dvojic z nich dokážeme poskládat. To nás dovede ke kombinačnímu číslu

   $$ {30 \choose 2} = 435 $$

   A v kolika dvojicích je i Ondřej? Pokud je jeden ze dvou Ondřej, tak zbývá celkem 29 žáků, se kterými může Ondřej dvojici tvořit (sám se sebou ji tvořit nemůže, proto 30-1=29). Nyní už známe počet všech možností a počet příznivých možností, takže dosadíme do vzorce:

   $$ P(H) = \frac{29}{435}=0{,}0666\ldots=6{,}666… \% $$

   Poznámka: počet všech dvojic můžeme spočítat i bez kombinací. Jakým způsobem bychom mohli vytvořit všechny dvojice, pokud máme třídu 30 žáků? Tak, že vždy vezmeme jednoho žáka a přidáme k němu postupně všechny ostatní. To znamená, že vezmeme například Martina a přidáme k němu do dvojice všechny ostatní žáky, tj. vytvoříme 29 párů. Takto to provedeme s každým žákem, tj. se všemi 30 žáky. Dostáváme celkem 30 · 29 = 870 párů. Nicméně každý pár tam máme dvakrát, jednou tam máme dvojici [Martin, Jana] a podruhé [Jana, Martin] (podle toho, jestli byl zrovna Martin ten, ke komu se přiřazoval zbytek třídy nebo ten, který byl zrovna přiřazován k Janě). Tento výsledek tak ještě podělíme dvěma a máme konečný výsledek: 870 / 2 = 435.

9. Jaká je pravděpodobnost, že z botníku, kde je umístěno dvanáct párů bot, vytáhneme právě tři boty na levou nohu? To je takový příhodný příklad ze života, to jste už jistě někdy potřebovali vědět. Začneme tím, že se spočítáme, kolik různých trojic vůbec můžeme z botníku vytáhnout. Budeme k tomu potřebovat kombinace, protože nezáleží na pořadí, v jakém boty vytáhneme. Máme celkem 24 bot a chceme vytáhnout 3. Dostáváme kombinační číslo:

   $$ {24 \choose 3} = 2024 $$

   Tím jsme spočítali, že existuje celkem 2024 různých kombinací tří bot, které můžeme z botníku vytáhnout. Teď musíme spočítat, které kombinace jsou příznivé, tj. které kombinace tří bot obsahují vždy botu pro levou nohu. Víme, že v botníku je celkem 12 bot pro levou nohu. My tak jen vypočítáme, kolik kombinací z těchto 12 bot dokážeme vytvořit. To opět vede ke kombinačnímu číslu:

   $$ {12 \choose 3} = 220 $$

   Existuje tak 220 kombinací, které obsahují vždy jen boty pro levou nohu. To je vše, co potřebujeme vědět, teď už jen dosadíme do vzorce:

   $$ P(I) = \frac{220}{2024}=0{,}108695=10{,}8695 \% $$

   Máme tak přibližně desetiprocentní šanci, že vytáhneme tři boty a všechny pro levou nohu.