Vektorové prostory

Vektorový, někdy též zvaný lineární, prostor představuje množinu prvků, které musí splňovat některé vlastnosti, díky kterým se prvky této množiny, kterým říkáme vektory, chovají „hezky“.

Příklad vektorového prostoru

Než si vektorový prostor zadefinujeme, ukážeme si příklad vektorového prostoru, který už byste měli znát ze střední školy, akorát nevíte, že je to vektorový prostor. Jsou to klasické vektory v rovině.

Vektorem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici [a, b], kde a, b ∈ ℝ. Jsou to jakékoliv souřadnice v prostoru ℝ² (tím se myslí kartézský součin ℝ×ℝ). Takový vektor můžeme znázornit šipkou z bodu [0, 0] do bodu [a, b]. Vektor [2, 3] by vypadal takto:

Víme, že vektory můžeme sčítat podle pravidla [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]. Součet vektorů [2, 3] + [4, 1] by byl roven vektoru [2 + 4, 3 + 1] = [6, 4]. Graficky bychom to znázornili takto:

Zároveň můžeme vypočítat k-násobek vektoru, kde k je reálné číslo. k-násobek zapíšeme jako k · [a, b]. Výsledkem je nový vektor, který je definovaný jako k · [a, b] = [k · a, k · b]. Graficky se to projeví tak, že se vektor „protáhne“, „zkrátí“ nebo změní směr. Pokud máme vektor u = [2, 3], pak vektory 2 · u, $\frac12u$ a −1 · u vypadají takto:

Že množina všech vektorů ℝ² s takto definovanými operacemi tvoří vektorový prostor si dokážeme později. Nejprve si zadefinujeme vektorový prostor a na tomto vektorovém prostoru ℝ² si jednotlivé vlastnosti ukážeme.

Definice vektorového prostoru

Vektorový prostor (nebo též lineární prostor) je neprázdná množina V, jejíž prvky nazýváme vektory. Dále musí na množině existovat dvě operace: sčítání vektorů, tj. zobrazení $V \times V \longrightarrow V$, a násobení vektoru reálným číslem, tj. zobrazení $\mathbb{R} \times V \longrightarrow V$. (Obecněji lze místo množiny reálných čísel použít jakékoliv těleso, ale o tom v pozdějších článcích.) Sčítání vektorů značíme znaménkem +, násobení · . Tyto dvě operace musí splňovat následující podmínky. Tj. pro všechna x, y, z ∈ V a pro všechna a, b ∈ ℝ musí platit (všimněte si, že vektory x, y, z jsou tučně, zatímco čísla a, b normálně):

1. x + y = y + x: sčítání vektorů je komutativní. Pokud se vrátíme k příkladu s vektory v ℝ², tak je jedno, jestli sečteme vektory takto [2, 3] + [4, 1] nebo naopak: [4, 1] + [2, 3] .

• (x+y)+z = x+(y+z): sčítání vektorů je asociativní. Opět si můžeme dosadit nějaké vektory z ℝ² a uvidíme, že to vyjde.
• a · (b · x) = (a · b) · x: asociativní zákon násobení. Pro naše vektory bude platit, že 4 · (5 · [6, 7]) je totéž jako (4 · 5) · [6, 7]. Oba příklady vedou k vektoru [20 · 6, 20 · 7].
• a · (x + y) = a · x + a · y: distributivní zákon pro vektory z V. Opět vidíme, že 2 · ([2,3]+[4,5]) je totéž jako 2 · [2,3]+2 · [4,5]. Oba výrazy vedou k vektoru [2 · 6,2 · 8].
• (a + b) · x = a · x+b · x: distributivita sčítání čísel.
• 1 · x = x: pokud vynásobíme libovolný vektor reálným číslem 1, tak se hodnota vektoru nezmění. V našem případě platí, že 1 · [5, 8] = [5,8].
• Existuje prvek 0∈ V takový, že 0 · x = 0. Tučná nula, tj. 0, je tzv. nulový vektor, zatímco netučná nula 0 je prostě číslo nula. Tento bod říká, že v V musí existovat vektor, který získáme tak, že vynásobíme libovolný vektor x∈ V číslem nula. Pro náš prostor ℝ² je to vektor [0,0], protože pro všechny vektory [a, b] ∈ ℝ² platí, že 0 · [a,b] = [0,0].

Toto jsou všechny vlastnosti, které musí splňovat vektorový (lineární) prostor V. Pokud násobíme vektor nějakým reálným číslem a, pak tomuto číslu a říkáme skalár. Mluvíme tak často o násobení skalárem a myslíme tím výraz tvaru a · x, kde a je reálné číslo a x je vektor.

Dvojí význam znaménka plus +

Pozor na to, že v některých výrazech může mít znaménko plus + dvojí význam. Například v bodě distributivita sčítání čísel máme rovnici (a + b) · x = a · x+b · x. Přitom to znaménko + na levé straně rovnice sčítá reálná čísla, protože a i b jsou reálná čísla, zatímco na pravé straně sčítá vektory, protože výsledkem součinu a · x je vektor.

Toto automatické rozpoznávání se v matematice používá často — z kontextu je vždy jasné, jaké sčítání se myslí. Pokud máme výraz x + y a přitom x, y jsou vektory, použijeme vektorový součet. Pokud by x, y byla čísla, použili bychom klasický součet. Pokud by to byly matice, použili bychom maticový součet, atd.

Mohli bychom pro sčítání vektorů používat jiné znaménko, například $\oplus$. Pak bychom distributivitu sčítání čísel mohli napsat takto: $(a+b)\cdot \mathbf{x} = a\cdot \mathbf{x}\oplus b\cdot \mathbf{x}$. Normální + zde značí sčítání reálných čísel a, b, znaménko $\oplus$ značí sčítání vektorů. Většinou se ale pro obě verze sčítání používá jedno znaménko + a jeho význam se pozná z kontextu. Totéž platí pro znaménko · .

Vektorový prostor R²

V první části jsme si definovali vektorový prostor V = ℝ², nyní si dokážeme, že se skutečně o vektorový prostor jedná. Jako první musíme ověřit, jestli máme správně definované operace sčítání a násobení. Sčítání má sčítat dva vektory a výsledkem má být nový vektor. To je splněno, protože [a, b]+[c, d] = [a + c,b + d]. Sečtením dvou vektorů z ℝ² vznikne nový vektor z ℝ².

Pokud bychom například sčítání vektorů definovali jako součet jejich velikostí, pak by to nebyla platná operace součtu ve vektorovém prostoru. Velikost vektoru [a, b] bychom spočítali jako $\sqrt{a^2+b^2}$. Výsledkem součtu [3,4]+[5, 12] by tak bylo číslo $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+12^2}=5+13=18$, což není vektor prostoru ℝ².

Dále musíme ověřit, jestli máme správně definované násobení. Násobení násobí reálné číslo s vektorem z ℝ² a výsledkem má být nový vektor z ℝ². To je opět splněno, protože násobení skalárem máme definované jako k · [a,b] = [k · a, k · b].

Postupně ověříme všech 7 vlastností, které musí vektorový prostor splňovat. Za jednotlivé vektory x, y budeme dosazovat naše vektory [a, b], [c, d], … podle toho, jak se to bude hodit, toho se nelekejte.

1. x + y = y + x, komutativita sčítání vektorů. Je námi definované sčítání vektorů komutativní? Ano, je, protože je definované jako [a, b]+[c, d] = [a + c,b + d]. Pokud na levé straně prohodíme vektory, získáme: [c, d]+[a, b] = [c + a,d + b]. Protože c + a je součet dvou reálných čísel a součet reálných čísel je komutativní operace, tak platí, že c + a = a + c a totéž pro druhou dvojici: d + b = b + d. Platí tak, že [a + c,b + d] = [c + a,d + b].

• (x+y)+z = x+(y+z). Tohle bude takové hraní si se závorkami. V podstatě se jedná o jednoduché úpravy, akorát budou nepřehledné, protože tam těch závorek bude zkrátka moc. Zkusíme si vypočítat tento součet vektorů:

$$ \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right] = \left[a+c,b+d\right]+\left[e,f\right]=\left[\left(a+c\right)+e, \left(b+d\right)+f\right] $$

Protože a, c, e jsou reálná čísla a operace sčítání je na reálných číslech asociativní, tak platí, že (a + c)+e = a + c + e. Totéž pro druhou souřadnici. Můžeme tak napsat, že

$$ \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right] = \left[a+c+e, b+d+f\right] $$

Teď si zkusíme stejné vektory sečíst s jinak poskládanými závorkami:

$$\left[a,b\right]+\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right)=\left[a,b\right]+\left[c+e,d+f\right]=\left[a+\left(c+e\right),b+\left(d+f\right)\right]$$

Opět platí, že a+(c + e) = a + c + e, takže můžeme napsat, že

$$\left[a,b\right]+\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right)=\left[a+c+e, b+d+f\right]$$

Vidíme tak, že ať uzávorkujeme součet tří vektorů jakkoliv, dostaneme se vždy ke stejnému vektoru [a + c + e, b + d + f]. Operace sčítání v ℝ² je tak asociativní a splňuje i druhou vlastnost vektorových prostorů.

Můžete si zkusit za proměnné a, …, f dosadit konkrétní čísla a uvidíte, že to bude vycházet.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Opět si nejprve rozepíšeme levou stranu rovnice, přičemž za x dosadíme vektor [c, d]:

$$a\cdot \left(b \cdot \left[c, d\right]\right) = a \cdot \left[b \cdot c, b \cdot d\right] = \left[a \cdot (b \cdot c), a\cdot (b\cdot d)\right]$$

Protože násobení reálných čísel je asociativní, dostáváme rovnost a · (b · c) = a · b · c. Můžeme tak napsat:

$$a\cdot \left(b \cdot \left[c, d\right]\right) = \left[a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right]$$

Nyní si rozepíšeme pravou stranu rovnice, tj. stranu (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot\left[c, d\right]=\left[(a\cdot b)\cdot c, (a\cdot b)\cdot d\right]$$

Opět platí, že (a · b) · c = a · b · c, takže:

$$(a\cdot b)\cdot\left[c, d\right]=\left[a\cdot b \cdot c,a\cdot b\cdot d\right]$$

Vidíme, že obě strany rovnice vedou k výslednému vektoru [a · b · c,a · b · d], takže rovnice platí.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Postup bude stejný, rozepíšeme si levou stranu rovnice:

$$a\cdot\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right) = a\cdot\left(\left[c+e, d+f\right]\right)=\left[a\cdot(c+e), a\cdot (d+f)\right]$$

Protože a, c, e jsou reálná čísla, kde distributivní zákon platí, získáme rovnost: a · (c + e) = ac + ae. Můžeme tak napsat:

$$a\cdot\left(\left[c, d\right]+\left[e, f\right]\right) = \left[ac+ae, ad+af\right]$$

Pravá strana rovnice:

$$a\cdot\left[c,d\right]+a\cdot\left[e,f\right]=\left[ac, ad\right]+\left[ae, af\right]=\left[ac+ae, ad+af\right]$$

Vidíme, že levá i pravá strana rovnice jsou si po úpravách rovny.

• (a + b) · x = a · x+b · x: Budeme postupovat velmi podobně jako v předchozím kroku. Úprava levé strany rovnice:

$$(a+b)\cdot\left[c, d\right]=\left[(a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d\right]=\left[ac+bc,ad+bd\right]$$

Pravá strana:

$$a\cdot\left[c, d\right]+b\cdot\left[c,d\right]=\left[ac, ad\right]+\left[bc, bd\right]=\left[ac+bc,ad+bd\right]$$

• 1 · x = x: Já sice nevěřím, že to vůbec někdo zvládl dočíst až k tomuto bodu, ale budiž, pokračujeme dál :-). Tento bod je alespoň jednoduchý. Máme ověřit, že 1 · [a, b] = [a,b]. To jistě platí, protože

$$1\cdot\left[a,b\right]=\left[1\cdot a, 1\cdot b\right]=\left[a,b\right]$$

• Existuje prvek 0∈ ℝ² takový, že 0 · x = 0: je to vektor [0,0]. Pro něj platí, že 0 · [a,b] = [0,0], protože

$$0\cdot\left[a,b\right]=\left[0\cdot a, 0\cdot b\right]=\left[0{,}0\right]$$

Velikost vektorových prostorů

Jaký existuje nejmenší vektorový prostor? Z definice víme, že vektorový prostor je neprázdná množina V, nejmenší možná velikost, o které můžeme uvažovat, je tak množina o jednom vektoru. Ze sedmého bodu definice víme, že prostor musí obsahovat nulový vektor. Množina V = {0} je tak kandidátem na nejmenší vektorový prostor.

Sčítání můžeme definovat jako 0+0 = 0 a násobení jako a · 0 = 0. Ať uděláme co, uděláme, vždy dostaneme nulový vektor. Zjevně bude tato jednobodová množina mít všech sedm požadovaných vlastností.

Už víme, že existuje jednobodový vektorový prostor. Existuje vektorový prostor, který bude mít dva prvky? Můžeme množině V = {x, 0} definovat operace sčítání a násobení tak, aby z toho vznikl vektorový prostor?

Odpovědí je, že ne, neexistuje dvoubodový vektorový prostor. A neexistuje ani žádný jiný konečný vektorový prostor kromě zmíněného jednobodového. Všechny ostatní vektorové prostory jsou již nekonečné. Pokud bychom ale, jak bylo naznačeno, použili místo množiny reálných čísel nějaké jiné, konečné, těleso, mohli bychom získat i jiný konečný vektorový prostor.

Shrnutí

Definice vektorových prostorů není úplně jednoduchá, vektory a operace musí splňovat celkem 7 podmínek, což není málo. Na druhou stranu ony podmínky jsou celkem triviální a pochopitelné — směřují k tomu, aby se s vektory dobře pracovalo. Díky definovaným podmínkám můžeme vektory z vektorového prostoru sčítat bez toho, abychom museli ověřovat, jestli výsledkem sčítání nebude nějaký vektor z jiného vektorového prostoru. Stejně tak můžeme násobit vektor reálným číslem a vždy dostaneme vektor ze stejného prostoru. Že vektory a jejich operace dodržují komutativní, asociativní a distributivní zákony je také celkem přirozené.

Vektorový prostor bychom mohli zadefinovat i obecněji. Místo množiny reálných čísel můžeme vzít jakékoliv těleso. O tom ale v pozdějších článcích.

Odkazy a zdroje

• O. Krupková: Lineární algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineární algebra