Vlastní limita v nevlastním bodě

Limita funkce je jedním z nejdůležitějších pojmů matematické analýzy. Popisuje chování nějaké funkce v okolí určitého bodu, díky čemu můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.

Vlastní limita v nevlastním bodě

Tato situace je podobná limitám posloupnosti. Hledáme, jakou limitu má funkce, pokud se blížíme nekonečnu. Limita může být buď vlastní nebo nevlastní. Začneme s vlastní limitou.

Nechť ∞ je hromadným bodem funkce f. Pak L ∈ ℝ je limitou funkce v bodě ∞, pokud

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x > A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

a v bodě −∞ pokud

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x < A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Co nám definice říká? Že pokud si zvolíme nějaké ε-okolí kolem námi zamýšlené limity L (tedy na ose y), pak jsme vždy schopni najít na ose x takový bod A, že když vezmeme jakýkoliv bod x napravo od A, tedy x>A, tak bude platit |f(x)−L| < ε, tedy všechny funkční hodnoty budou od limity L vzdáleny méně než ε.

Vezměme si funkci f(x) = (2/x)+1. Graf:

Je vidět, že pokud se s hodnotou x blížíme k nekonečnu, funkční hodnota f(x) se blíží k jedničce. Takže zvolíme L = 1. Nyní dokážeme, že L = 1 je opravdu limita této funkce v plus nekonečnu. Nejprve si to vyzkoušíme. Zvolíme nějaké epsilon, například $\epsilon=\frac12$. Nyní zkusíme nalézt takové A ∈ ℝ, aby platilo, že pro všechny x, které jsou větší než A, je funkční hodnota vzdálena od L méně než ε. Načrtneme si to do obrázku:

Že je funkční hodnota f(x) vzdálena od bodu L méně než ε znamená, že křivka popisující graf funkce se nachází mezi těmi červenými čárami. My musíme nyní najít hranici A na ose x, od které je tato podmínka splněna. Nemusí to být nutně nejmenší možná hranice, takže si můžeme zvolit například A = 6.

Vidíme, že křivka popisující graf se za hranicí A nachází celá mezi červenými čárami, které vyznačují ε-vzdálenost od L. Teď jsme to dokázali pro jedno konkrétní ε, abychom dokázali, že L = 1 je skutečně limita, musíme to být schopni dokázat pro všechna ε > 0.

Nyní musíme zjistit, pro jaká A platí tento vztah:

$$x > A \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

Po dosazení:

$$x > A \Rightarrow \left|\left(\frac{2}{x}+1\right) - 1\right| < \epsilon.$$

Můžeme odečíst jedničky:

$$x > A \Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right| < \epsilon$$

Dále můžeme předpokládat, že budeme brát pouze kladná x (zajímají nás hodnoty x, které se blíží plus nekonečnu), čímž můžeme odstranit absolutní hodnotu:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{x} < \epsilon$$

Vynásobíme x:

$$x > A \Rightarrow 2 < x\cdot\epsilon$$

Vydělíme ε:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{\epsilon} < x$$

Úpravami jsme zjistili, že x musí být větší než 2/ε. Takže pokud za A zvolíme nějaké číslo, které bude větší než 2/ε, pak nalezneme hranici, kterou jsme hledali.

V předchozím pokusu jsme zvolili $\epsilon=\frac12$, takže bychom za A měli zvolit číslo, které je větší než $2/\frac12=4$. My jsme zvolili A = 6, což je v pořádku.