Algebraická čísla
Číslo, které je kořenem nějakého mnohočlenu, nazveme algebraickým číslem. Co to v realitě znamená? Můžeme si vzít jakékoliv číslo a zahrát si s ním takovou matematickou hru. Cílem hry je vzít nějaké číslo x a zredukovat ho na nulu, přitom ale můžeme používat pouze operace sčítání, odečítání, násobení a mocniny a můžeme k úpravám používat jen celá čísla. Z příkladů to bude jasnější.
Vezmeme si pro start číslo 42. Jak bychom ho upravili tak, abychom získali nulu? Můžeme od něj odečíst celé číslo 42 a dostaneme nulu (násobit nulou není povoleno):
$$\large42-42=0$$
Protože se nám číslo 42 povedlo zredukovat na nulu, je číslo 42 algebraické. To bylo dost triviální. Co nějaký zlomek, třeba $\frac73$? Protože můžeme pracovat jen s celými čísly, nemůžeme od tohoto zlomku odečíst $\frac73$, abychom získali nulu. Musíme si poradit jinak. Nejprve zlomek vynásobíme třemi:
$$\large3\cdot\frac73=\frac{3\cdot7}{3}=7$$
Získali jsme celé číslo a to už umíme převést na nulu: odečteme sedm. Můžeme tak napsat
$$\large3\cdot\frac73-7=0$$
a můžeme říci, že zlomek sedm třetin je také algebraické číslo. Vezmeme si ještě složitější číslo, odmocninu ze dvou: $\sqrt2$. Žádné násobení ani sčítání nám nepomůže, musíme se nejdřív zbavit odmocniny. Umocníme výraz na druhou:
$$\large\left(\sqrt2\right)^2=2$$
Získali jsme celé číslo, které umíme převést na nulu, odečteme dva:
$$\large\left(\sqrt2\right)^2-2=0$$
I odmocnina ze dvou, což je iracionální číslo, je číslem algebraickým. Zatím to vypadá, že každá číslo, které zkusíme, je algebraické. Co třeba takové Eulerovo číslo e? To je také iracionální, takže má nekonečný desetinný rozvoj bez opakování podobně jako odmocnina ze dvou. Jeho přibližná hodnota je 2,71. Oproti odmocnině ze dvou ale neexistuje způsob, jak ho pomocí operací, které jsme si povolili, zredukovat na nulu. Ať už Eulerovo číslo s něčím sečteme nebo vynásobíme nebo ho umocníme, vždy získáme zase další iracionální číslo. Eulerovo číslo proto není algebraické číslo, hurá!
Podobně není algebraické číslo Pí, Ludolfovo číslo (3,14).
Takovým číslům, která nejsou algebraická, říkáme transcendentní.
Přesnější definice
Pro každé algebraické číslo číslo tedy musí existovat polynom (mnohočlen) s celočíselnými koeficienty, jehož kořenem je právě toto algebraické číslo. Kořen polynomu je takové číslo, při kterém je polynom rovný nule. Když se vrátíme v příkladům nahoře, tak pro číslo 42 bychom získali rovnici
$$x-42=0$$
a protože kořenem mnohočlenu x − 42 je právě x = 42, tak to znamená, že 42 je algebraické číslo. Pro racionální číslo $\frac73$ by to byla rovnice
$$3x-7=0$$
protože kořenem mnohočlenu 3x − 7 je právě $x = \frac73$. A konečně pro odmocninu ze dvou bychom získali
$$x^2-2=0$$
protože kořenem polynomu x2 − 2 je právě odmocnina ze dvou. Pro Eulerovo číslo nebo pro Pí žádnou takovou rovnici či polynom sestavit nedokážeme, protože se jedná o transcendentní čísla a nejedná se o algebraická čísla.
Příklady algebraických čísel
- Každé celé číslo je i algebraické.
- Každé racionální číslo (zlomky) je algebraické.
- Iracionální čísla už jsou složitější. Jak jsme viděli, některá iracionální čísla jsou algebraická, jako například odmocnina ze dvou, ale některá nejsou jako je Eulerovo číslo.
- Každá n-tá odmocnina celého čísla je algebraická.
- Zlatý řez je algebraické číslo.