Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo se používá pro řešení systému lineárních rovnic, kde matice systému je regulární.

Cramerovský systém

Mějme systém lineárních rovnic Ax = b. Tento systém nazveme cramerovský, pokud je A čtvercová regulární matice. To znamená, že determinant této matice je vždy nenulový a matice tak nemá žádné lineárně závislé řádky nebo sloupce.

Podle Frobeniovy věty má každý cramerovský systém právě jedno řešení. Frobeniova věta říká, že pokud rank(A) = rank(A|b) = k, pak má systém řešení. Matice A cramerovského systému je čtvercová a má maximální možnou hodnost. To znamená, že pokud k této matici přidáme jakýkoliv další sloupec, tak tento sloupec musí být nutně lineární kombinací sloupců matice A. Takže přidáním sloupce z matice b nezvýšíme hodnost matice A.

Frobeniova věta také říká, že na vyjádření řešení potřebujeme n − k parametrů, kde n je počet proměnných a k je hodnost matice rank(A|b). U cramerovského systému bude platit n = k a tak na vyjádření řešení budeme potřebovat nula parametrů. Proto má každý cramerovský systém právě jedno řešení.

Dále označme A_i upravenou matici A tak, že na místě i-tého sloupce má sloupec b. Formálně matici A_i definujeme takto:

$A_{i} = (\begin{matrix} a_{1, 1} & \dots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & \dots & a_{2, i - 1} & b_{2} & a_{2, i + 1} & \dots & a_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \dots & a_{n, n} \end{matrix})$

kde a_ij jsou prvky matice A a b_i prvky matice b.

Cramerovo pravidlo

Nechť Ax = b je cramerovský systém lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo říká, že tento systém má právě jedno řešení (x₁, x₂, …, x_n), kde

$x_{i} = \frac{det A_{i}}{det A} = \frac{| A_{i} |}{| A |} .$

Pravidlo si hned ukážeme na malém příkladu. Vyřešíme následující systém pomocí Cramerova pravidla.

$\begin{array}{ccccccccc} x_{1} & + & 2 x_{2} & = & 5 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Matice systému bude mít tvar:

$A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})$

Determinant matice je rovný:

$| A | = 3 - 8 = - 5.$

Dále si vytvoříme matice A₁ a A₂. Ty budou mít tvar:

$A_{1} = (\begin{matrix} 5 & 2 \\ 15 & 3 \end{matrix}), A_{2} = (\begin{matrix} 1 & 5 \\ 4 & 15 \end{matrix})$

Vypočítáme determinanty těchto matic:

$\begin{array}{rcl} | A_{1} | & = & 5 \cdot 3 - 15 \cdot 2 = - 15 \\ | A_{2} | & = & 1 \cdot 15 - 4 \cdot 5 = - 5 \end{array}$

A postupně vypočítáme x₁ a x₂. Podle Cramerova pravidla bude pro prvek x₁ platit rovnost

$x_{1} = \frac{| A_{1} |}{| A |}$

Po dosazení tak máme

$x_{1} = \frac{- 15}{- 5} = 3$

Totéž pro druhý prvek x₂:

$x_{2} = \frac{| A_{2} |}{| A |} = \frac{- 5}{- 5} = 1$

Řešením systému rovnic tak je dvojice (x₁, x₂) = (3, 1).

Cramerovo pravidlo je vhodné především v případě, kdy chcete postup algoritmizovat, snadno se programuje. Řešit soustavu pomocí Cramerova pravidla ručně bývá obvykle složitější, než ji řešit Gaussovou eliminační metodou.

Odkazy a zdroje

Kapitoly: Systémy rovnic, Cramerovo pravidlo, Homogenní systémy

« Předchozí: Systémy lineárních rovnic

Další: Homogenní systémy »