Hodnost matice

Hodnost matice je číslo, které představuje počet nezávislých řádků nebo sloupců matice.

Definice

Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků/sloupců v matici. Nulová matice má hodnost nula, každá jiná matice má hodnost alespoň jedna. Matice typu m× n může nabývat hodnosti maximálně min(m, n). Tedy pokud má matice méně řádků než sloupců, tak hodnost matice bude nejvýše rovna počtu řádků. Podobně pro sloupce.

Hodnost matice obvykle označujeme anglickým slovem „rank“. Píšeme pak rank(A) = x.

Jak vypočítat hodnost

Teď jak se hodnost matice počítá. Je to celkem jednoduché. Musíte matici upravit do takového podoby, ze které už bude jasně vidět, které řádky jsou lineárně nezávislé. To se nejčastěji provádí tak, že se matice upraví do schodovitého tvaru (pod diagonálou samé nuly) a pak už je vidět, jak na tom ta matice je. Šupity presto na příklad — máme tuto matici:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&1&-1\\1&3&3\end{array}\right)$$

A máme zjistit její hodnost. Teď si musíme uvědomit jednu drobnost. Máme-li dva řádky, které jsou plné čísel různých od nuly, mohou být teoreticky lineárně závislé. Museli bychom to počítat. Pokud ale jeden z těch řádků bude mít na nějakém místě nulu, přičemž ten druhý řádek na stejném místě nulu nemá, můžeme s jistotou tvrdit, že závislé nejsou. Nenajdeme totiž žádné číslo, kterým bychom mohli vynásobit tu nulu (potažmo celý řádek), abychom tam dostali totéž číslo, jako se nachází v druhém řádku. Proto se vždy budeme snažit upravovat matice do schodovitého tvaru, abychom tam ony nuly dostali.

Předchozí odstavec můžeme napsat takto. Pokud α₁, α₂≠0, pak:

$$ \alpha_1\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0&2&3\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0&a&b\end{pmatrix} $$

Proto se snažíme dostat matici do podobného tvaru, abychom jednoduše viděli závislosti. Podívejte se na příklad:

$$ \begin{pmatrix} 4&-5&1\\ 0&7&2\\ 0&0&3 \end{pmatrix} $$

Toto je matice ve schodovitém tvaru, žádné řádky nejsou lineárně závislé. Nemůžete pomocí prvních dvou řádku vyjádřit třetí, protože pokud máte nenulové koeficienty alfa, tak vám vždy na prvních místech zůstane nějaké nenulové číslo.

Postup bývá obvykle takovýto: nejprve dostaneme nuly do prvního sloupce (kromě prvního řádku). Poté upravujeme matici dále tak, abychom dostali nuly ve druhém sloupci, pak třetí atd. atd. atd. až z toho nakonec máme schodovitý tvar. Sečteme nenulové řádky a ejhle tuť hle, máme hodnost matice. Můžeme používat tyto úpravy bez toho, aniž bychom změnili hodnost matice:

• Prohodit libovolné dva řádky.
• Vynásobit řádek libovolným nenulovým výrazem.
• Přičíst jeden řádek ke druhému.
• Všechny předchozí úpravy lze použít i na sloupce.

Příklad

V naší předchozí matici budeme úpravy provádět takto: Podíváme se, jaký je vztah mezi prvky a₁₁ a a₂₁. Vidíme, že jsou stejné, takže abychom na místě a₂₁ dostali nulu, musíme přičíst −1 násobek prvního řádku. Přičteme −1 násobek prvního řádku ke druhému řádku (neboli od druhého řádku odečteme první):

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\1&3&3\end{array}\right)$$

Teď máme nulu tam, kde jsme ji chtěli mít. Nyní ještě musíme dostat nulu na pozici a₃₁. Tam je zase jednička, takže jen odečteme první řádek:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&1&2\end{array}\right)$$

Teď už máme nuly v prvním sloupci, takže se s chutí pustíme na druhý sloupec. Vidíme, že čísla a₂₂ a a₃₂ jsou opačná, takže stačí řádky sečíst:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&0\end{array}\right)$$

A dostali jsme tam jeden nulový řádek. Úpravy jsou již hotové, dostali jsme se do schodovitého tvaru. Nyní už jen sečteme nenulové řádky a máme hodnost. Ta je rovna rank A = 2. Tato matice měla hodnost dva.

Druhý příklad

Teď zkusíme vypočítat hodnost trochu větší matice:

$$\left(\begin{array}{cccc}7&2&5&1\\1&3&5&-7\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků, takže si můžeme dovolit si v matice zpřeházet řádky jak je nám libo. Zde by se třeba hodilo mít řádek s jedničkou na začátku úplně nahoře, ať se nám lépe počítá. Můžeme tedy bez obav přesunout první s druhým řádkem:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\7&2&5&1\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Teď budeme postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Musíme v prvním sloupci mít samé nuly (samozřejmě místo prvního řádku), takže k druhému řádku přičteme −7 násobek prvního řádku, ke třetímu −4 násobek a k poslednímu −2 násobek. První řádek zůstane nezměněn:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&-19&-30&50\\0&-17&-19&28\\0&2&0&5\end{array}\right)$$

Opět prohodíme řádky, tentokrát bychom měli dostat poslední řádek namísto druhého řádku, kvůli té dvojky na druhé pozici. Prohodíme druhý a čtvrtý řádek:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-17&-19&28\\0&-19&-30&50\end{array}\right)$$

Ale vidíme, že pod dvojkou máme čísla −17 a −19. Ani jedno z těch čísel není dělitelné dvěma, což je takové nešikovné, dokonce až mrzké. Proto nyní třetí a čtvrtý řádek vynásobíme dvěma:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-34&-38&56\\0&-38&-60&100\end{array}\right)$$

Teď můžeme postupovat v úpravách a ve snaze vynulovat druhý sloupec. Ke třetímu řádku přečteme 17 násobek druhého řádku a ke čtvrtému 19 násobek:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&0&-38&141\\0&0&-60&195\end{array}\right)$$

Tak, teď jsme dostali dost — na další úpravu — nešikovná čísla, ale nějak si s tím poradíme. Vydělíme třetí řádek −38:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&-60&195 \end{pmatrix} $$

A teď vynásobíme třetí řádek 60 a přičteme ke čtvrtému řádku:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&195-\frac{60\cdot141}{38} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&-\frac{525}{19} \end{pmatrix} $$

Vyšlo nám sice nehezké, ale nenulové číslo. Matice tak má hodnost čtyři, neobsahuje žádný lineárně závislý řádek.

Příklad s parametrem

Jaká je hodnost matice A v závislosti na parametru q?

$$ A=\begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} $$

Tohle je trochu složitější úloha, protože tam máme parametr q. Musíme zjistit, při jakých hodnotách q má matice maximální hodnost, pokud vůbec, a při jakých nižší. Budeme postupovat klasicky, jen občas místo konkrétních hodnot budeme počítat s abstraktním q. V prvním kroku si přesuneme parametr q na nějaké hezčí místo, konkrétně úplně vpravo dolů. Prohodíme tak druhý řádek s třetím a následně první sloupec s posledním:

$$ \begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&8&17\\ 4&1&3\\ q&5&8 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} $$

Teď jsme dostali parametr do vhodného místa, kde nebude moc vadit. V prvním sloupci ale máme dost nešikovná čísla, nicméně úplně uprostřed máme jedničku: přesuneme ji vlevo nahoru, tj. prohodíme první a druhý řádek a první a druhý sloupec:

$$ \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3&1&4\\ 17&8&1\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Teď je z toho hezká matice. Vynásobíme první řádek −8 a přičteme ke druhému řádku:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Vynásobíme první řádek −5 a přičteme ke třetímu řádku:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} $$

Fajn, první sloupec máme dle potřeb. Nyní přičteme −1 násobek druhého řádku ke třetímu:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&0&q+11 \end{pmatrix} $$

A jsme u konce s úpravami matice. Vidíme, že první a druhý sloupec je určitě lineárně nezávislý. Lineárně závislý ale může být třetí řádek. Řádek bude lineárně závislý, pokud bude celý nulový, tedy pokud zvolíme parametr q tak, aby výraz q + 11 byl roven nule. Zřejmě platí, že pokud q = −11, pak je řádek nulový a řádek je tak lineárně závislý.

Takže konečný verdikt: pro q = −11 má matice hodnost dva, jinak má hodnost tři.