Kolik existuje různých PINů?

Představte si, že máte číselný zámek na kole, na kterém si můžete nastavit nějaký čtyřčíselný kód. Nebo si podobný čtyřčíselný kód chcete nastavit na platební kartě. Kolik existuje možností? Pojďme si to spočítat.

Počet variant čtyřmístného kódu

Kolik kombinací by existovalo, kdyby se kód skládal pouze z jednoho čísla od nuly do devíti? Existovalo by celkem deset kombinací: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Kolik možností bychom získali, když bychom přidali další číslo, tj měli bychom dvoučíselný kód? Představme si to tak, že na prvním zámku bychom nastavili číslo nula a u druhého zámku bychom postupně vyzkoušeli všechna čísla od nuly do devíti:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

Získali bychom deset kombinací. Teď změníme na prvním zámku číslo z nuly na jedna a uděláme totéž:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Máme dalších deset kombinací. Takto budeme pokračovat, až vyzkoušíme na prvním zámku všechna čísla a skončíme u devítky:

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Celkem tak získáme deset takových řad, v každé řadě deset kombinací. Pokud sečteme všechna čísla ve všech řadách, získáme u dvoučíselného zámku 10 · 10 kombinací, tedy sto.

Takhle budeme pokračovat dále. Přidáme třetí číslo do zámku, čímž se nám počet kombinací zase zdesetinásobí. Třímístný kód tedy bude mít 10 · 10 · 10, tj. tisíc kombinací. A konečně čtyřmístný kód bude obsahovat

$$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\ 000$$

kombinací. Celou dobu jsme přitom jen využívali kombinatorické pravidlo součinu. Pokud tak máme čtyřčíselný zámek, ve kterém se vyskytuje vždy deset různých číslic, můžeme počet kombinací spočítat pomocí mocnin jako

$$\Large 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$$

Kdybychom měli 3 zámky, v každém bychom si mohli zvolit jedno písmeno anglické abecedy, tj. písmena od A do Z, kterých je 26, získali bychom celkem

$$\Large 26^3=17\ 576$$

možností.

Jak vyzkoušet všechny kombinace PINu?

Pokud někdy budete potřebovat vyzkoušet všechny kombinace číselného zámku nebo PINu, postupujte hlavně systematicky. Pokud máte čtyřčíselný zámek s čísly od 0 do 9, začněte od 0000 a pak postupně zvyšujte poslední číslo:

0000, 0001, 0002, …, 0009

Poté otočte druhým zámkem zprava a znovu vyzkoušejte všechny variace, tím že budete otáčet poslední číslo:

0010, 0011, 0012, …, 0019

Pak zase otočte druhým zámkem zprava a zase znova všechny kombinace:

0020, 0021, 0022, …, 0029

Až se dostanete k 0099, otočte třetím zámkem zprava pokračujte zase dále:

0100, 0101, 0102, …, 0199

Poslední kombinace, kterou můžete zkusit je 9999. Pak si můžete být jistí, že jste zkusili všechny.