Düzenli Dillerin Kapalılığı

L dilinin düzenli olması için gerek ve yeter koşul, bu dili kabul eden bir A otomatının var olmasıdır, yani L(A) = L. Düzenli dillerin birleşim, kesişim, birleştirme ve Kleene kapanışı işlemlerine göre kapalı olduğunu göstereceğiz.

Bir Kümenin Bir İşleme Göre Kapalılığı

M kümesinin ⊗ işlemine göre kapalı olduğunu, şu koşul sağlandığında söyleriz:

$$\mathrm{\forall }x,y\in M:x\otimes y\in M$$

Örneğin toplama işlemi doğal sayılar kümesinde kapalıdır. Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna karşılık doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir, çünkü örneğin 7 − 15 = −8 ve −8 bir doğal sayı değildir.

Şimdi düzenli diller kümesinin hangi işlemlere göre kapalı olduğunu göstereceğiz. Tüm ispatlar yapıcı olacak, yani ortaya çıkan dili kabul eden bir otomat kuracağız.