✖

Doğal Sayılar

Doğal sayılar, günlük hayatta en sık karşılaştığımız sayılardır. Türkiye’deki okullarda 0, 1, 2, 3, 4, … sayılarına doğal sayı, 1, 2, 3, 4, … sayılarına ise sayma sayısı (pozitif tam sayı) denir.

Gösterim

Doğal sayılar, sıfırı ve pozitif tam sayıları 1, 2, 3, 4, … içeren bir küme oluşturur. Bu kümeyi genellikle ilk çizgisi çift çizilmiş N harfiyle gösteririz: ℕ. Bu harf, İngilizce “naturals” (doğal sayılar) sözcüğünden gelir.

Bu konuda her kaynak aynı tanımı kullanmaz. Türkiye’de (MEB) ℕ sıfırı da içerir, yani ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Sıfır olmadan, yalnızca 1, 2, 3, … sayılarını almak istediğimizde sayma sayılarını yani pozitif tam sayıları kullanırız ve bu kümeyi ℤ+ ile gösteririz. Başka ülkelerde ve bazı kitaplarda ise ℕ sıfırsız yazılır; yabancı bir kaynak okurken buna dikkat et.

Doğal sayıları en çok bir şeyin miktarını belirtmek için (“evde üç sandalye var”, “parkta otuz bank var”, …) ve sıra bildirmek için (“Ay’daki ilk insan”, “Kanada dünyanın en büyük ikinci ülkesidir”, …) kullanırız.

Özellikler

Doğal sayıların bazı ilginç özellikleri vardır:

  1. Doğal sayılar kümesi sonsuzdur, ama sayılabilirdir; hepsini bir dizi olarak sıralayabiliriz.
  • Doğal sayılar toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Yani herhangi iki doğal sayıyı toplarsak ya da çarparsak yine bir doğal sayı elde ederiz.
  • Çıkarma işlemine göre kapalı değildir, çünkü küçük bir sayıdan büyük bir sayıyı çıkarırsak negatif sayı elde ederiz.
  • Benzer biçimde bölme işlemine göre de kapalı değildir; örneğin 7/2 bir doğal sayı değildir.

Kalanlı Bölme

Önceki bölümde doğal sayıların bölme işlemine göre kapalı olmadığını söyledik. Yine de senin de kesinlikle bildiğin kalanlı bölme işlemini tanımlayabiliriz. 7/2 işlemini yaparsak 3,5 buluruz. Kalanlı bölme kullanırsak bölüm 3, kalan 1 olur. Yani 3 · 2 çarpımına kalanı eklersek tekrar 7’yi buluruz: 3 · 2 + 1 = 7.

Doğal sayılar bu işleme göre kapalıdır: hem bölüm hem de kalan yine ℕ kümesinde yer alır. (Sıfırı içermeyen sayma sayıları ise bu işleme göre kapalı değildir, çünkü bölüm ya da kalan sıfır olabilir.)

Kalanlı bölmenin tanımı şöyledir:

a=bq+r;a,q,r∈N,b∈Z+,r<b

Tanımda a:b işlemini yaptık; r sayısına kalan, q sayısına bölüm denir. Koşullar ne anlama geliyor? Sıfır dahil doğal sayılarda çalıştığımızı varsayıyoruz, ama sıfıra bölemeyeceğimiz için b’yi sıfırsız kümeden, yani ℤ+ kümesinden seçiyoruz.

Örnek olarak 19:5 işlemi için a = 19 ve b = 5 olur. Ayrıştırma şöyle görünür:

19=5⋅3+4

Yani q = 3 bölümdür, r = 4 ise kalandır.

Bağlantılar