Vázankový paradox

Sejde se takhle bývalý ředitel ČEZu Martin Roman a geniální český politik Václav Klaus na dovolené v Dubaji. Po pár lahvích kvalitního slámového vína se začnou sázet o to, kdo z nich má dražší kravatu.

Zadání

Jak už víme, Martin a Václav se začnou po pár lahvích vína sázet o to, kdo z nich má dražší kravatu. Tuto kravatu dostali na vánoce od svých manželek a ani oni sami neví, kolik kravata stojí. Přesné znění sázky zní takto: zeptají se svých manželek na cenu a ten, kdo bude mít levnější vázanku, získá vázanku toho druhého. Tedy má-li Václav levnější kravatu než Martin, získá Václav Martinovu kravatu. A naopak. První otázka zní, zda je někdo z nich ve výhodě? Vyplatí se někomu z nich jít do sázky, nebo jsou pro oba šance úplně stejné?

Pseudořešení

Možná, že ano. Budeme dále předpokládat, že cena kravat je různá. Na řešení to nic nemění, protože pokud by byla cena stejná, nikdo by nedostal ničí kravatu. Počítejte se mnou: Václav má kravatu, která stojí X korun. O Martinově vázance nic neví, nemá ani žádné jiné indicie, takže pravděpodobnost, že má levnější kravatu je 50 %, pravděpodobnost, že má dražší kravatu, je také 50 %. Takže pokud bude mít Václav dražší kravatu, příjde o X korun. Ale pokud bude mít levnější kravatu, získá více než X korun. Obojí s pravděpodobností 50 %: má 50% šanci, že přijde o X korun a 50% šanci, že získá více než X korun.

Při stejné pravděpodobnosti tak může vyhrát více peněz (dražší kravatu), než kolik jich může prohrát. A to se vyplatí! Vypadá to, že pro Václava se vše vyvíjí velmi hezky a že pro něj bude lepší, když do sázky půjde. Může více získat, než kolik může ztratit.

Jenže, jak asi všichni tušíte, tutéž úvahu může provést i Martin. I Martin má 50% šanci, že přijde o svou kravatu v ceně Y a 50% šanci, že vyhraje kravatu v ceně více než Y.

Zjevně není možné, aby při stejné sázce byli oba účastníci ve výhodě; něco musí být špatně.

Řešení

Jako první si rozepíšeme, co kdo vlastně může vyhrát. Dosadíme si libovolné konkrétní ceny vázanek. Předpokládejme pro jednoduchost, že existují pouze dvě vázanky, v cenách 3000 a 4000 korun. Pak mohou, z pohledu Václava, nastat tyto případy:

• Václav má vázanku za 3000 a Martin za 4000 $\rightarrow$ Václav získal 4000.
• Václav má vázanku za 4000 a Martin za 3000 $\rightarrow$ Václav ztratil 4000.

(Že by měli kravaty za stejnou cenu jsme vyloučili, ale nebylo by to nutné — nevyhrál by pak žádný z nich.)

Jak je vidět, hraje se vždy o stejné peníze, Václav může buď získat 4000, nebo ztratit 4000. Samozřejmě je to nezávislé na konkrétní ceně, pokud si tam dosadíte částky 250 a 350, bude se vždy hrát o 350 korun. Do sázky se tak nikomu nevyplatí jít (či nejít), pokud nemá dodatečné informace.

Pokud bychom měli celkem tři různé kravaty, řekněme za 2000, 3000 a 4000, dostali bychom těch možností trochu více. Nejprve Václavovy výhry, poté Václavovy prohry:

• Václav má vázanku za 2000 a Martin za 3000 $\rightarrow$ Václav získal 3000.
• Václav má vázanku za 2000 a Martin za 4000 $\rightarrow$ Václav získal 4000.
• Václav má vázanku za 3000 a Martin za 4000 $\rightarrow$ Václav získal 4000.
• Václav má vázanku za 3000 a Martin za 2000 $\rightarrow$ Václav ztratil 3000.
• Václav má vázanku za 4000 a Martin za 2000 $\rightarrow$ Václav ztratil 4000.
• Václav má vázanku za 4000 a Martin za 3000 $\rightarrow$ Václav ztratil 4000.

Všechny možnosti jsou stejně pravděpodobné. Jak je vidět, Václav může získat přesně ty peníze, které může zároveň ztratit. Podobné tabulky bychom získali pro ještě více kravat, vždy by platilo, že Václav může ztratit takové peníze, které může zároveň získat. A protože jsou všechny možnosti stejně pravděpodobné, ani jeden z účastníků není v nevýhodě.

Hlavní chyba, kterou Václav udělal, bylo to, že počítal s fixní cenou své kravaty. To dělat nemůže, protože, jak je vidět u příkladu se dvěma kravatami, cena jeho kravaty v případě prohry byla jiná než cena jeho kravaty v případě výhry. Podobně v dalším příkladě se třemi kravatami — když Václav vyhrál, cena jeho kravaty byla z množiny {2000, 3000}, ale když prohrál, cena byla z množiny {3000, 4000}. Přitom Václav stále počítal s fixní částkou.