Netransitivní kostky

Představte si, že máte tři šestistranné kostky, které mají na sobě libovolná čísla. Může se stát, že na kostce A padne častěji vyšší číslo než na kostce B, na kostce B padne častěji vyšší číslo než na kostce C a na kostce C padne častěji vyšší číslo než na kostce A?

Transitivita

Transitivita je pojem z binárních relací. Řekneme, že relace R na M je transitivní, pokud pro všechna a, b, c ∈ M platí, že pokud [a, b] ∈ R a zároveň [b, c] ∈ R, pak i [a, c] je v R.

V případě kostek bychom mohli mít relaci „být lepší kostka“ ve smyslu, že kostka A je lepší než kostka B, pokud na kostce A padne častěji vyšší číslo než na kostce B. Pak bude transitivita vypadat takto: pokud je kostka A lepší než kostka B a zároveň kostka B je lepší než kostka C, pak i kostka A musí být lepší než kostka C. Je to pravda?

Zkusíme najít protipříklad, tedy takové tři kostky, které budou cyklicky lepší. Kostka A bude lepší než kostka B, kostka B bude lepší než kostka C a kostka C bude lepší než kostka A. Bereme v potaz vždy jen šestistěnné kostky.

Příklad

Příkladem jsou tyto tři kostky:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Jaká je pravděpodobnost, že na kostce A padne větší číslo než na kostce B? Existuje celkem 36 různých dvojic, jak mohou kostky padnout. Pokud na kostce B padne první jednička, tak na kostce A vždy padne větší číslo. Tj. máme 6 dvojic, kdy na kostce A padne vyšší číslo. Pokud na B padne druhá jednička, máme dalších 6 dvojic, kdy na A padne vyšší číslo. Pokud padne jedna z šestek, musí na A padnout jedna z devítek. To jsou další 4 možnosti. Pokud padne jedna z osmiček, musí na A padnout jedna z devítek. Opět 4 možnosti. Celkem máme 6 + 6 + 4 + 4 = 20 možností. Pravděpodobnost, že na A padne vyšší číslo je tak 20/36 = 5/9, což je přibližně 56 %.

Teď B vs. C. Pokud na C padne jedna z trojek, musí na B padnout jedna z šestek nebo jedna z osmiček. To je celkem 2 · 4 = 8 možností. Pokud padne pětka, musí opět na B padnout 6 nebo 8, takže zase 8 možností. Pokud padne sedmička, musí na B padnout osmička, 4 možnosti. Celkem 8 + 8 + 4 = 20. Pravděpodobnost je zase 5/9.

Nakonec C vs. A. Pokud na A padne dvojka, vše z C je vyšší. To je 12 možností. Pokud padne čtyřka, může na C padnout 5 nebo 7. To je 8 možností. Pokud padne devítka, máme smůlu. Celkem to dělá 12 + 8 = 20 možností a dostáváme zase pravděpodobnost 5/9.

Efronovy kostky

Efronovy kostky jsou dalším případem sady kostek, které nejsou transitivní vzhledem k relaci být lepší kostka. Mají taková čísla:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Přitom platí, že kostka porazí následující kostku vždy s pravděpodobností 2/3. Například ve chvíli, kdy na kostce A padne čtyřka, tak nad kostkou B vyhraje. Ve chvíli, kdy padne nula, prohraje. A na kostce A padne čtyřka s pravděpodobností 2/3. Podobně pro ostatní kostky.

Existují i další varianty Efronových kostek. Takové, které mají stejnou průměrnou hodnotu na jeden hod (například kostka A v průměru hodí číslo 8/3, zatímco C má průměr vyšší, 10/3) nebo takové, které si mezi sebou rozdělí všechna přirozená čísla od 1 do 24.

Další zdroje

• Anglická Wikipedie