Pravděpodobnost výhry ve Sportce

Kapitoly: Pravděpodobnost, Doplňkový jev, Podmíněná pravděpodobnost, Pravděpodobnost výhry ve Sportce

Jak spočítat pravděpodobnost výhry ve Sportce? Jak zvýšit šance na výhru? Podívejme se na to. Sportka funguje tak, že v osudí je 49 čísel od 1 do 49 a během losování se z onoho osudí vylosuje šest náhodných čísel. Sázející zkouší těchto šest vylosovaných čísel uhodnout. Jaká je pravděpodobnost, že uhodneme všech šest vylosovaných čísel?

Hořící peníze

Začneme tím, že si spočítáme, kolik vůbec existuje všech možných kombinací, které mohou být vylosovány. Důležité je si uvědomit, že žádné číslo nemůže být vylosované v jednom tahu dvakrát, tedy není možné, aby se vylosovala čísla 1, 2, 3, 4, 5, 5. Druhý důležitý faktor je, že nezáleží na pořadí, v jakém byla čísla vylosována, tedy když se vylosují čísla v pořadí 1, 2, 3, 4, 5, 6 a jindy v pořadí 6, 5, 4, 3, 2, 1, tak se jedná o stejnou kombinaci čísel a pokud jsme si tato čísla tipli, vyhráli bychom tak jako tak.

Víme tedy, že nemůžeme použít variace, u kterých záleží na pořadí, ale na výpočet použijeme kombinace, u kterých na pořadí nezáleží. Ptáme se tedy, kolik existuje různých kombinací, když vybíráme šest čísel ze 49. Zapíšeme to ve formě kombinačního čísla takto:

$$\large 49\choose6$$

Vzorec, kterým se toto kombinační číslo dá vypočítat, vypadá takto:

$${n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

kde ten vykřičník značí faktoriál. Když si dosadíme hodnoty, získáme:

$$\large {49\choose6} = \frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Čitatel si můžeme rozepsat:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43!}{43!\cdot 6!}$$

Teď můžeme pokrátit 43!:

$$\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}$$

A teď už to jen doopravdy dopočítáme:

$$\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}=\frac{10\ 068\ 347\ 520}{720}$$

Což se rovná

$$\frac{10\ 068\ 347\ 520}{720}=13\ 983\ 816$$

Existuje tedy celkem 13 983 816 různých kombinací (skoro čtrnáct milionů), na které si můžete vsadit.

Pravděpodobnost výhry hlavní ceny

Hlavní cenu získáte, když uhádnete všech šest vylosovaných čísel. Protože existuje celkem 13 983 816 různých kombinací, máte šanci 1 : 13 983 816 že vyhrajete, což vám dává pravděpodobnost

$$\frac{1}{13 983 816}\approx0{,}0000000715$$

Vyjádření v procentech bychom získali, když bychom pravděpodobnost vynásobili stem, tj. když odebereme dvě nuly: 0,00000715 %. To není moc velká pravděpodobnost. Pro ilustraci, v České republice žije něco málo přes deset milionů lidí. Kdyby si každý člověk v Česku vsadil Sportku s unikátními čísly, stejně by existovaly tři miliony kombinací, které by neměl nikdo vsazené a byla by asi pětinová šance, že by stejně nikdo nevyhrál.

Jak zvýšit šanci na výhru ve Sportce?

Nijak. Nejde to. Leda byste podplatili toho, kdo čísla losuje. Každá šestice má stejnou šanci na vylosování. Šestice 1, 2, 3, 4, 5, 6 má stejnou šanci na vylosování jako 5, 14, 15, 38, 41, 48. Osudí nedělá žádný rozdíl mezi hezky poskládanou sekvencí čísel jako je 1, 2, 3, 4, 5, 6 a náhodnou sekvencí čísel jako je 5, 14, 15, 38, 41, 48. To jen nám lidem se postupka líbí více. Stejně tak si osudí nepamatuje dříve vylosovaná čísla. To, že minulý týden byla vylosovaná čísla 5, 14, 15, 38, 41, 48 nijak neovlivňuje pravděpodobnost, že by byla tahle šestice vylosovaná znova další týden.

Máte dvě možnosti, jak si pomoci při sázení: tou první je nesázet čísla, která sází ostatní. Neovlivníte tím své šance na výhru, protože je jedno, jestli šestici čísel vsadil jeden člověk nebo sto lidí. Ale pokud už byste vyhráli, bude se vaše výhra dělit mezi méně lidí. Vůbec nejlepší je sázet úplně náhodná čísla. Šance, že by někdo vybral stejnou náhodnou šestici čísel je nízká. Pokud ale například vsadíte stejná čísla, jako padla při posledním losování, máte velkou šanci, že další lidé zvolili stejnou strategii a že se při případné výhře budete muset dělit.

Tou druhou možností jak si pomoci při sázení je nesázet a radši ty peníze investovat do něčeho rozumnějšího.