Pravděpodobnost výhry v Eurojackpotu
Kapitoly: Pravděpodobnost, Doplňkový jev, Podmíněná pravděpodobnost, Pravděpodobnost výhry ve Sportce, Pravděpodobnost výhry v Eurojackpotu
Eurojackpot je číselná loterie podobná Sportce, do které je zapojeno několik evropských zemí. Minimální garantová výše Eurojackpotu je deset milionů Euro, maximální možná výše je pak 90 milionů Euro. Pravidla jsou podobná naší Sportce.
Pravidla
Cílem loterie je uhádnout pět vylosovaných čísel z 50 možných čísel a k tomu ještě navíc uhádnout dvě další doplňková čísla z 12 čísel. Pokud uhádnete všech sedm vylosovaných čísel, můžete se těšit na hlavní výhru, Eurojackpot. V případě, že uhádnete méně čísel, můžete se těšit na výhry v dalším pořadí. Zajímavostí je, že v roce 2015 vyhrál někdo v České republice hlavní Eurojackpot, jednalo se o rekordní výhru 2,466 miliardy korun.
Pravděpodobnost výhry v Eurojackpotu
Jakou ale máte šanci na výhru? Začneme tím, že si spočítáme, kolik vůbec existuje všech možných kombinací, které mohou být vylosovány. Víme, že žádné číslo nemůže být vylosované dvakrát a že nezáleží na pořadí, v jakém byla čísla vylosována. To nám říká, že na výpočet nemůžeme použít variace, ale musíme použít kombinace. Ptáme se tedy, kolik existuje různých pětic, které mohou být vylosovány z 50 možných čísel. Zapíšeme to pomocí kombinačního čísla takto:
$$\large 50 \choose 5$$
Vzorec, kterým se toto kombinační číslo dá vypočítat, vypadá takto:
$$\large {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$
kde ten vykřičník značí faktoriál. Když si dosadíme hodnoty, získáme:
$$\large {50\choose5} =\frac{50!}{(50-5)!\cdot5!}=\frac{50!}{45!\cdot5!}$$
Využijeme vlastností faktoriálu a rozepíšeme si čitatel:
$$\frac{50!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}$$
Vidíme, že jak v čitateli, tak ve jmenovateli máme 45!. Můžeme tedy celý zlomek pokrátit právě 45!:
$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5!}$$
Rozepíšeme 5!:
$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5\cdot4\cdot3\cdot2}$$
Vše vynásobíme:
$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5\cdot4\cdot3\cdot2}=\frac{254\ 251\ 200}{120}$$
A teď už jen podělíme:
$$\frac{254\ 251\ 200}{120}=2\ 118\ 760$$
Existuje tak celkem 2 118 760 různých pětic, které můžeme vylosovat z padesáti různých čísel. Pravděpodobnost toho, že uhádneme právě jednu vylosovanou pětici, označme si to jako P1, je převrácená hodnota, tj.
$$P_1=\frac{1}{2\ 118\ 760}$$
Teď si musíme spočítat, kolik existuje různých dvojic, které lze vylosovat z 12 čísel, abych mohli spočítat pravděpodobnost toho, že trefíme i doplňková čísla. Můžeme to zase zapsat jako kombinační číslo:
$$12 \choose 2$$
Postup tentokrát přeskočíme, můžeme použít kalkulačka na výpočet kombinačních čísel, a zjistíme, že
$${12 \choose 2} = 66$$
Existuje tedy 66 různých dvojic. Pravděpodobnost, označme si ji P2, že trefíme správně vylosovanou dvojici, je
$$P_2=\frac{1}{66}$$
Celkovou pravděpodobnost P hlavní výhry eurojackpotu získáme tak, že tyto dvě pravděpodobnosti vynásobíme:
$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2\ 118\ 760}\cdot\frac{1}{66}=\frac{1}{139\ 838\ 160}$$
Šance, že vyhrajeme hlavní výhru v Eurojackpotu je 1 ku 139 838 160. Pro ilustraci, v České republice žije něco málo přes deset milionů lidí. Aby bylo jisté, že někdo z Česka vyhraje, musel by si každý obyvatel Česka koupit 13 unikátních losů. Po slosování by pak bylo jisté, že jeden los z Česka bude ten výherní.