Faktoriál

Faktoriál čísla n je roven součinu všech přirozených čísel, která jsou menší nebo rovna číslu n. Faktoriál zapisujeme pomocí vykřičníku n!. Přičemž pro nulu platí: 0! = 1. Faktoriál se využívá především v kombinatorice, kde se pomocí něj počítá například permutace. Například faktoriál pěti by se rovnal 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definice faktoriálu

Faktoriál můžeme definovat různými způsoby. Ten nejjednodušší je asi tento:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{pokud n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{jinak}\end{array}$$

Můžeme také uvést definici pomocí produktu:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Případně ještě pomocí integrálu:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

(Podrobnosti na matematickém fóru.)

Počítání s faktoriály

S faktoriály se často počítá ve zlomcích. Zde se pak využívá faktu, že n! = n · (n − 1)!. Toto platí z definice, ukážeme si to na příkladu. Víme, že faktoriál čtyř, 4!, je rovný součinu těchto přirozených čísel: 4 · 3 · 2 · 1. Přitom můžeme napsat, že součin 3 · 2 · 1 je rovný faktoriálu tří: 3 · 2 · 1 = 3!. Faktoriál čtyř už pak můžeme napsat jako 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Díky tomu můžeme mnoho různých faktoriálů ve zlomcích efektivně zkrátit. Ukázkový příklad — zjednodušte výraz:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Zjednodušení provedeme podle vzorce, který jsem před chvíli zmínil. V čitateli můžeme faktoriál rozdělit na n · (n − 1)! a toto ještě (podle stejného vzorce) můžeme rozložit na n · (n − 1) · (n − 2)!. Nyní už můžeme zlomek hezky zkrátit:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Další příklad:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

A poslední příklad na faktoriál:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$