Pokročilé příklady na derivace

Několik příkladů na složitější derivace než základní práce se vzorečky. Pokud potřebujete vysvětlit definici derivace, přejděte na článek derivace funkce.

První příklad

Začneme s něčím ještě ne příliš těžkým.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Ze vzorečků derivací funkce víme, že derivace funkce e^x je opět e^x. Bohužel tento jednoduchý postup nemůžeme v tomto příkladě úplně přímo použít, protože v exponentu se nenachází jen x, ale −x, takže musíme danou funkci řešit jako složenou funkci. V prvním kroku nás ale stejně čeká rozložení pomocí vzorce pro součin.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Levý mnohočlen zderivujeme pomocí klasického vzorce, zbytek necháme stejný:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Teď musíme zderivovat poslední funkci. Jak už jsme si říkali, je to složená funkce a tak ji musíme derivovat podle pravidla o složených funkcích:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Takže derivace naší funkce by vypadala takto:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Výraz e^−x zůstane stejný, protože derivace e^x je zase e^x a v prvním kroku vzorce derivujeme vnější funkci a vnitřní funkci necháváme nezderivovanou. V druhém kroku násobíme náš mezivýsledek derivací argumentu funkce, což je funkce −x. Derivací funkce −x je −1. Teď už jen dosadíme náš výsledek do předchozího výrazu:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Druhý příklad

Zadání druhého příkladu:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Zde máme zlomek, v čitateli je jedna funkce a ve jmenovateli je jiná funkce. Takže v prvním kroku budeme derivovat podle vzorce pro dělení. Po aplikaci vzorce získáváme:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Vezmeme to od konce, zderivujeme nejprve tangens, protože ho můžeme zderivovat jednoduše podle základního vzorce. Platí, že

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Po aplikaci tohoto vzorce v čitateli zlomku dostáváme

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Teď potřebujeme zderivovat logaritmus. Bohužel máme uvnitř logaritmu další vnořenou funkci, takže dostáváme složenou funkci a musíme tak logaritmus derivovat složitěji jako složenou funkci. Derivace samotného logaritmu je 1/x, kde ovšem za x dosadíme argument logaritmu, tj. kosinus. Dále musíme ještě násobit derivací argumentu, tj. derivací kosinu. Takže derivace logaritmu bude vypadat takto:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Dostali jsme docela hezký zlomek. Pokud si dobře vzpomínáte na goniometrii, tak víte, že tento zlomek se rovná tangensu. Takže můžeme napsat, že se to celé rovná minus tangens:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Dosadíme to tak do předchozího výsledku:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

V čitateli máme dvakrát tangens, tak ho můžeme jednoduše umocnit na druhou. Logaritmus můžeme přesunout do čitatele následujícího zlomku.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Teď můžeme rozdělit čitatele a dostat dva zlomky

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

V prvním zlomku se čitatel rovná jmenovateli, takže dostáváme jedničku. Ve druhém zlomku se můžeme zbavit zlomku v čitateli tak, že zlomek rozšíříme výrazem cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Tangens nyní můžeme rozložit na podíl sin(x)/cos(x). Protože ale máme tangens na druhou, dostaneme i ve zlomku čitatel a jmenovatel na druhou. Poté můžeme hned zkrátit cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

To je finální výsledek derivace.

Třetí příklad

Vypočtěte derivaci funkce

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Pokud to není jasně vidět — všechno jsou to exponenty, tedy „x na x na jednu polovinu“. V prvním kroku nejprve provedeme úpravu podle vzorce:

$$x=e^{\ln x}$$

Pomocí tohoto vzorce rozložíme první x v našem příkladě:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Nyní aplikujeme vzorec pro práci s mocninami:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Odstraníme závorky a dáme do součinu nejvyšší exponent s logaritmem:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Teď už máme funkci ve tvaru, ve kterém se nám bude lépe derivovat. Jedná se o složenou funkci a jako takovou ji budeme derivovat. První funkce je e^x, kde za x dosadíme celý exponent a druhá funkce je v exponentu. Takže rozložením dostáváme:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Závorku budeme derivovat jako součin, takže aplikujeme vzorec pro součin.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Derivace logaritmu je 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Teď zderivujeme druhý výraz, podle klasického vzorce pro derivování mocninných funkcí. Takže platí:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Dosadíme tento výsledek do našeho výpočtu:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Můžeme ještě upravit první součin, opět pomocí vzorečků, které pracují s mocninami:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Přepíšeme předchozí výraz pomocí výpočtu, který jsme právě udělali:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

A nakonec převedeme logaritmus do čitatele zlomku:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

První zlomek můžeme rozšířit dvěma a zlomky pak můžeme sečíst:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Nyní už se můžeme vrátit k celé derivaci:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Zpátky nahradíme e^{ln x} za x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Tím jsme dostali finální výsledek.