Integrál

Proces integrování funkce je opačný k procesu derivování funkce.

Primitivní funkce

Začneme lehkou úlohou. Mějme funkci f(x) = 2x. Nalezněme nyní takovou funkci F, která bude po zderivování rovna funkci f. Formálně zapsáno, hledáme funkci F tak, aby platilo $F^{\prime}=f$.

Ze základních vzorců pro výpočet derivací víme, že je to funkce F(x) = x². Derivace funkce x² je rovna právě 2x. Otázkou je, zda je tato funkce jediná taková, která splňuje podmínku.

Odpověď je, že není — pokud k funkci x² přičteme jakoukoliv reálnou konstantu, získáme po zderivování opět funkci 2x, protože derivace konstanty je nula. Jakákoliv funkce ve tvaru x² + c, kde c je reálná konstanta, může být považována za námi hledanou funkci F.

Tuto úlohu můžeme zobecnit. Mějme danou reálnou funkci f a nalezněme takovou funkci F, pro kterou platí $F^{\prime}(x) = f(x)$ pro všechna x z D(f), případně z nějakého intervalu z definičního oboru. Tato funkce nemusí být daná jednoznačně, na druhou stranu ale také taková funkce nemusí existovat vůbec.

Tuto funkci F nazveme primitivní funkcí k funkci f. Zapisujeme:

$$ F(x) = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Funkce f se nazývá integrand, procesu hledání primitivní funkce se říká integrování. Výraz dx označuje, podle jaké proměnné integrujeme. Zapíšeme-li příklad takto

$$ \int 4x^3 \mbox{ d}x, $$

chceme najít primitivní funkci k funkci 4x³, přičemž integrujeme podle proměnné x. Výsledkem tak může být funkce x⁴, která je po zderivování rovna právě 4x³. Samozřejmě k této funkci můžeme přičíst libovolnou reálnou konstantu.

Lze dokázat, že primitivní funkce buď neexistuje, nebo je vždy ve tvaru F(x)+c, kde c je nějaká reálná konstanta — a pak je jich nekonečně mnoho, protože máme nekonečně mnoho reálných konstant. Pokud tak nalezneme funkci F(x), jsme schopni vygenerovat všechny primitivní funkce. Zároveň platí, že žádná jiná funkce, kterou bychom nevygenerovali touto cestou, už není primitivní k námi hledané funkci.

Ještě pár slov k výrazu dx. Působí to velice mysticky, ale opravdu to jen označuje, podle které proměnné integrujeme. Pokud například máme integrál

$$ \int a\cdot b+c \mbox{ d}b, $$

znamená to, že integrujeme podle proměnné b a ostatní písmena a a c se chovají jako konstanty. Tj. chováním jsou stejné, jako by tam byla čísla.

Integrování elementárních funkcí

Můžeme si snadno odvodit vzorce pro výpočet primitivních funkcí některých elementárních funkcí. Během celé kapitoly předpokládejme, že c ∈ ℝ.

Začneme s funkcí f(x) = 0, nulová funkce. Jaká funkce bude po zderivování rovna nule? Jakákoliv funkce, která obsahuje pouze konstantu:

$$ \int 0 \mbox{ d}x = c $$

Dále funkce f(x) = 1. Platí, že $x^{\prime}=1$, takže integrál jedné bude roven

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x + c $$

Další v pořadí je funkce f(x) = x. Jakou funkci musíme zderivovat, abychom získali jako výsledek x? Pokud zderivujeme x², dostaneme 2x. To už jsme skoro tam, kde jsme chtěli být. Stačí vydělit dvěma. Pokud tak zderivujeme (x²)/2, dostaneme právě x.

$$ \int x \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2}+c $$

Zobecníme-li to na funkci xⁿ, kde n ∈ ℕ, dostaneme vzorec:

$$ \int x^n \mbox{ d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c $$

Všimněte si, že tento vzorec neplatí pro n = −1, protože bychom dělili nulou a to se nedělá, to není hezké. Takže pokud máme n = −1, dostáváme funkci f(x) = x⁻¹, což je funkce 1/x. Jakou funkci musíme zderivovat, abychom získali 1/x? Je to logaritmus.

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln x+c $$

Problémem je, že logaritmus je definovaný jen pro kladná reálná čísla, takže tento vzorec neplatí pro všechna x z D(f). Nicméně platí pro interval (0, ∞). Pro interval (−∞, 0) pouze přehodíme znaménko u argumentu logaritmu: ln −x. Když to spojíme, můžeme napsat

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln |x|+c $$

Tento vzorec platí pro všechna x ∈ D(f). Další integrály například pro goniometrické funkce naleznete v následující tabulce:

$$\begin{eqnarray} \int a^x \mbox{ d}x &=& \frac{a^x}{\ln a}+c\quad\mbox{pro } a>0, a\ne1\\ \int \sin x \mbox{ d}x &=& -\cos x+c\\ \int \cos x \mbox{ d}x &=& \sin x +c \end{eqnarray}$$

Integrál součtu

Zatímco vypočítat derivace nějaké funkce je většinou poměrně jednoduché a — jak se říká — zvládne to i cvičená opice, protože se obvykle postupuje přímo podle vzorečků, u integrálů už je situace jiná. Postupy na výpočet integrálů jsou poměrně složitější, kvůli čehož je tak úlohu nalezení integrálu o hodně složitější než spočítání derivace. Je to dáno hlavně tím, že sice máme očekávající vzoreček na integrál součtu, ale už ne součinu.

Zkusíme si vypočítat tento integrál:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x $$

Jak bychom to mohli spočítat? Potřebujme funkci, která po zderivování dá x a pak další funkci, která dá 1. Z vzorců už víme, že se jedná o funkce (x²)/2 a x. Pokud tyto funkce sečteme, dostaneme f(x) = (x²)/2 + x. Po zderivování této funkce dostaneme x + 1. Tím jsme dostali výsledek:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2} + x + c $$

Během počítání jsme použili jednu vlastnost — integrál součtu se rovná součtu integrálů. Neboli

$$ \int f(x) + g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x + \int g(x) \mbox{ d}x $$

Platí to zároveň i pro odčítání:

$$ \int f(x) - g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x - \int g(x) \mbox{ d}x $$

Proto jsme mohli předchozí příklad rozepsat takto:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \int x \mbox{ d}x+\int 1 \mbox{ d}x $$

Vytýkání konstanty

Podobná věta platí také pro vytýkání konstanty před integrál. Máme-li integrál v podobě:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x, $$

kde a je nějaká reálná konstanta, můžeme tuto konstantu vytknout před integrál:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x = a\cdot\int f(x) \mbox{ d}x $$

Příklad

Vypočtěte integrál:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x $$

V prvním kroku si to rozdělíme do třech integrálů:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \int x^2 \mbox{ d}x+\int 6x \mbox{ d}x+\int 42 \mbox{ d}x $$

Integrály budeme řešit postupně. První integrál můžeme vyřešit přímo podle vzorce pro mocniny xⁿ:

$$ \int x^2 \mbox{ d}x=\frac{x^3}{3}+c $$

Ve druhém integrálu si nejprve vytkneme šestku:

$$ \int 6x \mbox{ d}x = 6\cdot\int x \mbox{ d}x $$

Integrál x už je opět tabulková hodnota, je to rovno (x²)/2. Takže dostáváme:

$$ 6\cdot\int x \mbox{ d}x = 6\cdot\left(\frac{x^2}{2}\right) = 3x^2+c $$

V posledním integrálu také nejprve vytkneme 42:

$$ \int 42 \mbox{ d}x = 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x $$

A to už je zase tabulková hodnota:

$$ 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x = 42x+c $$

Tyto dílčí integrály sečteme a máme výsledek:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c $$

Ještě jedna poznámka — my jsme v každém dílčím integrálu získali konstantu c, takže při sčítání bychom měli ve výsledku napsat +3c místo +c. Nicméně c je libovolná reálná konstanta, takže 3c se bude rovnat zase nějakému reálnému číslu. Mohli bychom zaměnit c v dílčích integrálech za c₁, c₂, c₃ a pak říci, že c = c₁ + c₂ + c₃.

Zdroje

• Primitivní funkce, Jan Tomeček [PDF]