Průběh funkce: extrémy

Extrémy funkce jsou body, ve kterých funkce nabývá svých maximálních nebo minimálních hodnot.

Extrémy funkce

Rozlišujeme dva základní typy extrémů — minimum a maximum. Dále rozlišujeme globální maximum/minimum a lokální maximum/minimum. Globální maximum je bod, ve kterém má funkce největší hodnotu ze všech bodů definičního oboru. Pokud je tato hodnota jediná, říkáme, že se jedná o ostré maximum. Funkce totiž může mít nejvyšší hodnotu ve více bodech, podobně, jako například dva různí zaměstnanci mohou brát nejvyšší mzdu půl milionu korun měsíčně. Definice minima a maxima jsou uvedeny v článku o funkcích.

Lokální minimum pak definujeme pouze na části definičního oboru funkce, typicky na nějakém intervalu. Definice lokálního maxima a minima:

• Funkce f má v bodě M ∈ D(f) lokální maximum, pokud existuje nějaké okolí U = (M − ϵ, M + ϵ), kde ϵ > 0 takové, že pro všechna x ∈ U ∩ D(f) platí f(x) ≤ f(M).
• Funkce f má v bodě m ∈ D(f) lokální minimum, pokud existuje nějaké okolí U = (m − ϵ, m + ϵ), kde ϵ > 0 takové, že pro všechna x ∈ U ∩ D(f) platí f(x) ≥ f(m).

Příkladem funkce, která má nekonečně mnoho extrémů je funkce f(x) = x · sin x:

A proč je v definici „pro všechna x ∈ U ∩ D(f)“, tedy proč je tam ten průnik s definičním oborem? Například proto, že funkce daná tímto grafem…

…má v bodě m = 1 minimum, ale přitom v jakémkoliv levém okolí bodu m = 1 není funkce definována, takže by v tomto levém okolí neplatilo, že f(x) ≥ f(m). Pokud uděláme ještě průnik s definičním oborem, získáme pouze pravé okolí.

Základní princip hledání extrémů

Nyní se ale vraťme ke grafu funkce f(x) = x² + 1 spolu s třemi tečnami:

Zaměříme se především na tečnu c. Vidíme, že tečna se dotýká grafu v minimu funkce x² + 1 a je vodorovná, tedy rovnoběžná s osou x. „Svírá“ tak s kladnou poloosou x úhel 0 stupňů. Co by se stalo, kdybychom funkci obrátili a místo minima měla funkce maximum? Graf funkce −x² + 1:

Všimněme si, že tečna c, která prochází maximem funkce −x² + 1 je opět rovnoběžná s osou x. Z toho nám vzniká zákonitost: pokud hledáme minimum nebo maximum funkce, hledáme tečnu, která je rovnoběžná s osou x, která má tangens úhlu, který svírá s osou x, rovný nule. Z předchozího obrázku lze vidět, že tan(0°) = 0. V kontextu derivací tak hledáme bod, pro který platí, že jeho derivace je rovná nule: f′(x) = 0.

Vypočítáme si extrém u naší oblíbené funkce f(x) = x² + 1 pomocí derivací. Derivace funkce f je f′(x) = 2x. Dále hledáme, kdy je první derivace rovna nule, tj. řešíme rovnici f′(x) = 0; po dosazení 2x = 0. To triviálně platí pro x = 0. Vidíme, že to souhlasí s tím, že funkce f(x) = x² + 1 má v bodě x = 0 globální minimum.

Výjimky z „pravidla“

Chtělo by se říci, že funkce má v bodě x extrém právě tehdy, pokud je derivace v tomto bodě rovna nule. To bohužel není pravda, takto jednoduché to není. Podívejme se na následující příklady:

• Zkusíme zjistit extrémy funkce f(x) = x³. První derivace této funkce je f′(x) = 3x². Vyřešíme rovnici f′(x) = 0, tedy 3x² = 0. To zřejmě platí pro x = 0. Ale má v bodě x = 0 funkce x³ nějaký extrém? Podívejme se na graf:

  

  Vidíme, že v bodě x = 0 žádný extrém funkce nenastává. Ani globální, ani lokální. Proč nám tedy v tomto bodě vychází derivace nulová? Protože v tomto bodě je zkrátka tečna t rovnoběžná s osou x, viz následující obrázek:

  

• Co taková milá funkce f(x) = |x|, tj. absolutní hodnota z x? Z grafu můžeme vyčíst, že má v bodě x = 0 globální minimum:

  

  Jenomže tato funkce nemá v bodě x = 0 derivaci! V bodě x = 0 nemá funkce tečnu, protože těžko říci, jak by ta tečna mohla vypadat.

Platí tak:

• Pokud má funkce f v bodě x extrém, tj. minimum nebo maximum, a pokud v tomto bodě existuje derivace (!), pak je tato derivace nulová. Může se stát, že má funkce v bodě x extrém a zároveň že v daném bodě nemá funkce žádnou derivaci.

• Pokud má funkce f v bodě x nulovou derivaci, pak v tomto bodě může být extrém, ale také nemusí.

Jak najít extrémy funkce

Budeme předpokládat, že máme na vstupu funkci f, která je derivovatelná na celém svém definičním oboru. V prvním kroku tak zderivujeme funkci f, čímž získáme funkci f′. Dále položíme první derivaci rovnou nule, tj. řešíme rovnici f′(x) = 0. Řešením této rovnice jsou body, které jsou „podezřelé“ z extrému, neboli stacionární body.

Dále musíme určit, které z těch stacionárních bodů jsou extrémy. To zjistíme například z druhé derivace funkce f. Pokud je s stacionární bod, tj. pokud platí f′(s) = 0, pak pokud f′′(s) > 0, pak se v bodě s nachází minimum, zatímco pokud f′′(s) < 0, pak se v bodě s nachází maximum.

Pokud je i druhá derivace v tomto bodě nulová, pak musíme pokračovat v derivování dále, o tom později. Teď příklad. Mějme funkci f(x) = 3x² + 6x. Nalezněte její extrémy.

Vypočítáme první derivaci: f′(x) = 6x + 6. Položíme první derivaci rovnou nule:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

V bodě x = −1 se tak nachází stacionární bod; bod podezřelý z extrému. Vypočítáme druhou derivaci. Ta je rovna funkci f′′(x) = 0x + 6. Po dosazení bodu x = −1 získáme f′′(−1) = 6. Výsledek je kladný, funkce má v daném bodě minimum. Graf:

Co když je i druhá derivace nulová?

Zkusíme si najít extrém funkce f(x) = x⁴, graf:

První derivace této funkce je f′(x) = 4x³. Řešením rovnice f′(x) = 0 je pochopitelně jediný stacionární bod s = 0. Spočítáme druhou derivaci, ta je rovna f′′(x) = 12x². Do této druhé derivace dosadíme stacionární bod s, takže dostaneme

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Dostali jsme nulu, a podle toho, co jsme zatím uvedli, tak nepoznáme, jestli v bodě extrém je, nebo není. Ale my vidíme, že v bodě extrém je. Pokud nastane tato situace, derivujeme dále. Nalezneme třetí derivaci a dosadíme stacionární bod s. Pokud vyjde nenulové číslo, je v bodě s tzv. inflexní bod (o tom později). Pokud vyjde nulové číslo, derivujeme dále. U čtvrté derivace se rozhodujeme stejně jako u druhé — dosadíme stacionární bod a kladná funkční hodnota znamená, že je tam minimum, záporná že je tam maximum.

Třetí derivace je rovna f′′′(x) = 24x, po dosazení máme f′′′(0) = 0, takže derivujeme dále. Čtvrtá derivace má tvar f′′′′(x) = 24. Vidíme, že čtvrtá derivace už je vždy kladná, z čehož můžeme — stejně jako u druhé derivace — odvodit, že funkce má v bodě s = 0 minimum. A taky že má.

Shrnutí postupu nalezení extrémů funkce

1. Máme danou funkci f, která je derivovatelná.

2. Funkci f zderivujeme.

3. Vyřešíme rovnici f′(x) = 0. Všechna s, která jsou řešení rovnice, nazveme stacionární body, neboli body podezřelé z extrému.

4. Vypočítáme druhou derivaci.

5. Vypočítáme hodnotu druhé derivace ve všech stacionárních bodech s. Pokud f′′(s) > 0, funkce má v bodě s minimum, pokud f′′(s) < 0, pak je v bodě s maximum. Pokud f′′(s) = 0, pak derivujeme dále.

   Rada: pokud se vám nechce pamatovat, jestli musí být druhá derivace kladná, nebo záporná, aby v místě bylo maximum nebo minimum, jednoduše si to odvoďte třeba z funkce x². Graf této funkce byste měli znát a první i druhá derivace je jednoduchá: f′(x) = 2x a f′′(x) = 2. Druhá derivace je tak vždy kladná a funkce x² má v bodě x = 0 minimum.

6. Vypočítáme třetí derivaci. Pokud je f′′′(s) ≠ 0, pak je v bodě s inflexní bod, v opačném případě derivujeme dále.

7. Vypočítáme čtvrtou derivaci. Pokud je f′′′′(s) ≠ 0, pak se v bodě nachází extrém. Jinak derivujeme dále.

8. A tak dále a tak dále. Pokud bude jako první nenulová derivace lichá derivace, jedná se o inflexní bod. Pokud bude nenulová sudá derivace, jedná se o extrém.