Vyjádření proměnné

Jak vyjádřit ze složitějšího vztahu nebo zlomku jednu konkrétní proměnnou. Tato technika se používá obzvláště při práci s různými vzorečky, ve kterých se vyskytuje více proměnných. Ještě v kombinaci s jinými vzorečky můžeme dosáhnout nevídaných výkonů, kdy odvodíme z ničeho vše.

Jednoduché lineární výrazy

Mějme tento vzoreček: ax + b = c. Jak z tohoto imaginárního vzorečku osamostatníme x? Začínáme vždy tak, že všechny výrazy s proměnnou, kterou osamostatňujeme, dáme na levou stranu a zbytek na pravou. Teoreticky je jedno, na které straně co bude, ale zvyklost je mít neznámou, kterou vyjadřujeme, vlevo. Takže nejprve přesuneme b na pravou stranu, tedy k rovnici přičteme −b:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Výrazy s proměnnou máme na jedné straně, ale ještě nám tam vadí to a. Jak se toho elegantně zbavit? Co musíme udělat s výrazem ax, abychom dostali pouze x? Ano, výraz — a tím pádem i celou rovnici — vydělíme a, neboli vynásobíme $\frac{1}{a}$. Hodnota a přitom musí být různá od nuly (nemůžeme dělit nulou). Pokud tak uděláme, dostaneme:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Hotovo. Další příklad:

$$2ax-3bx=10a$$

Opět máme osamostatnit x. Výrazy s neznámou již na levé straně máme, takže máme trochu ušetřenou práci. Komplikací ale je, že tam máme dva výrazy s neznámou. Situaci vyřešíme vytýkáním. Z levé strany rovnice vytkneme x a dostaneme:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Když jsme v předchozím příkladě měli výraz ax a chtěli jsme získat jen x, celou rovnici jsme vynásobili $\frac{1}{a}$. Nyní máme v rovnici výraz x(2a − 3b) a opět chceme znát x. Provedeme totéž, vydělíme celou rovnici výrazem (2a − 3b). Ničeho se nebojte, rovnici opravdu můžeme vydělit celou závorkou, jen musí platit 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Zlomky

Pokud máme výraz se zlomky, používáme stejné úpravy rovnic, jen musíme dát pozor na to, abychom náhodou nedělili nebo nenásobili nulou. Příklad:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Chceme osamostatnit x. Celou rovnici vynásobíme x — jen musíme dodat předpoklad, že x ≠ 0. To tak jako tak platí, protože v rovnici je zlomek $\frac{a}{x}$ a x je ve jmenovateli — dělit nulou přitom nemůžeme. Dostaneme tak rovnici:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Při osamostatňování neznámé zkrátka používejte běžné ekvivalentní úpravy rovnic.