Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

Lineární funkce, která obsahuje nějaké zlomky a má ve jmenovateli nějaké proměnné se řeší podobně, jako klasická lineární rovnice. V prvním kroku převedeme rovnici do základního tvaru a pak už ji řešíme klasicky.

Když je ve jmenovateli pouze x

Nejjednodušším typem takové rovnice je, pokud jmenovatel obsahuje proměnnou x a nic jiného. Příkladem budiž rovnice:

$$\frac{10}{x}=5$$

Je evidentní, že výsledkem rovnice bude x = 2. Jakým způsobem to ale vyřešíme formálně, obecně? Proměnná ve jmenovateli se nám nelíbí, potřebujeme se jí zbavit, protože s ním nejde rozumně manipulovat. Otázka zní, jakým způsobem se zbavíme x ve jmenovateli.

Představte si zlomek ve tvaru

$$\frac{a}{b}$$

Jakým výrazem musíte vynásobit zlomek, abyste se toho zlomku zbavili? aby už výraz nebyl ve tvaru podílu, ale ve tvaru násobku? Čím musíte vynásobit jednu třetinu (tj. 1/3), abyste dostali nějaké celé číslo? Musíte ho vynásobit jmenovatelem zlomku (nebo jeho násobkem). Pokud zlomek vynásobíte jeho jmenovatelem, dostanete zlomek

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

ve kterém už můžete zkrátit původní jmenovatel b a získáte tak pouze hodnotu a. Když se vrátíme k příkladu s třetinou: když jednu třetinu vynásobíte třemi, co získáte? Získáte tři třetiny, tj. číslo jedna. Co získáte, když vynásobíte jednu šestinu šesti? Šest šestin, tj. jedna. Co získáte, když vynásobíte tři sedminy sedmičkou? Získáte 3 · 7 = 21 dvacet jedna sedmin, což jsou tři.

Jednoduše tak celou rovnici vynásobíme proměnnou x, což je hodnota jmenovatele. Můžeme to udělat? Odpovědí je, že můžeme. Hodnota x by sice mohla nabývat nuly, protože předpokládáme, že x je z množiny reálných čísel, ale podmínky rovnice nám říkají, že x≠0, protože x je ve jmenovateli zlomku a my nemůžeme dělit nulou. Jedná se tak o ekvivalentní úpravu rovnic.

Dobře, vynásobíme tedy rovnici neznámou x. Co dostaneme?

$$\begin{eqnarray} \frac{10}{x}&=&5\\ x\cdot\frac{10}{x}&=&x\cdot5\\ \frac{10x}{x}&=&5x \end{eqnarray}$$

Co můžeme udělat nyní? Ve zlomku můžeme zkrátit x. Ze zlomku 10x/x tak zůstane pouze 10: 10 = 5x. A v tuto chvíli to již můžeme řešit jako klasickou lineární rovnici. Výsledkem je x = 2.

Má to nějaký intuitivní smysl? Ale jo. Představte si rovnici ve tvaru:

$$\frac{x}{2}=10$$

Co nám tato lineární rovnice říká? Že polovina x se rovná deseti. Pokud ale vezmeme dvě poloviny x, tak ty musí být rovny dvaceti. Přitom ale dvě poloviny x se rovnají jednomu celému x.

Složitější výraz ve jmenovateli

Ve jmenovateli může být složitější výraz než jen pouze x. Vyřešte rovnici:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Jakým způsobem budeme řešit tuto rovnici? Jak se zbavíme zlomku? V předchozí části jsme rovnici násobili jmenovatelem, čímž jsme se zbavili zlomku. V tomto případě budeme postupovat úplně stejně. Pokud vynásobíme rovnicí výrazem x + 2, pak se výraz x + 2 ocitne v čitateli zlomku a můžeme to pak hezky zkrátit. Jdeme násobit:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&10\quad/\cdot(x+2)\\ (x+2)\cdot\frac{5}{x+2}&=&(x+2)\cdot10\\ \frac{(x+2)\cdot5}{x+2}&=&10\cdot(x+2)\quad/\mbox{zkratime } (x+2)\\ 5&=&10\cdot(x+2) \end{eqnarray}$$

Nyní jsme se zbavili zlomku a už teď zbývá jen roznásobit závorky a dopočítat výsledek.

$$\begin{eqnarray} -10x-15&=&0\\ x&=&-\frac32 \end{eqnarray}$$

Více zlomků

Situaci může značně zkomplikovat, pokud máte v rovnici více zlomků a více výrazů ve jmenovateli. Příklad:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Jakým způsobem řešit tuto rovnici? Máme tam dva zlomky s různým jmenovatelem, v obou je proměnná x. Řešením je, že rovnici vynásobíme oběma jmenovateli. Můžeme to udělat buď postupně, nebo zároveň. Pokud to uděláme postupně, bude výpočet probíhat takto. Začneme násobením (x + 2).

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3} \end{eqnarray}$$

A v tuto chvíli ještě rovnici vynásobíme druhým jmenovatelem, (x + 3):

$$\begin{eqnarray} 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\quad/\cdot(x+3)\\ 5(x+3)&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Teď už jen roznásobíme závorky a dopočítáme výsledek:

$$\begin{eqnarray} 5x+15&=&4x+8\\ x&=&-7 \end{eqnarray}$$

Druhý postup je, že vynásobíme rovnici oběma jmenovateli současně. Tj. na začátku vynásobíme rovnici výrazem (x + 2)(x + 3). Dostaneme:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

To si můžeme dovolit udělat, protože pokud rovnici násobíme výrazem a a pak ji násobíme výrazem b, je to totéž, jako bychom ji vynásobili výrazem a · b.