Bikvadratické rovnice
Bikvadratická rovnice je například rovnice 3x4 + 7x2 + 5 = 0. Obecně rovnici nazveme bikvadratickou, pokud lze ekvivalentními úpravami upravit do tvaru
$$\large ax^4+bx^2+c=0$$
kde a, b, c jsou reálná čísla a koeficient a je nenulový. Rovnice trochu připomíná kvadratickou rovnici, pouze exponenty jsou dvakrát větší. Jakým způsobem takovou rovnici řešíme? Tím, že ji takovým malým podvodem upravíme práva na kvadratickou rovnici. Ten podvod se jmenuje substituce. Substituci provedeme tak, že si řekneme, že t = x2 a nyní všude tam, kde v původní rovnici bylo x2 teď napíšeme t. Pro příklad si vezměme bikvadratickou rovnici
$$\large x^4-2x^2-15=0$$
Všechny výskyty x2 nahradíme za t, přičemž nezapomene, že x4 je ve skutečnosti x2 · x2 a tedy že x4 = t2:
$$\large t^2-2t-15=0$$
Nyní vidíme, proč jsme tuto substituci udělali — protože jsme získali běžnou kvadratickou rovnici. Tu můžeme vyřešit například tak, že si spočítáme diskriminant nebo metodou doplnění na čtverec. Diskriminant nám vyjde
$$D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=64$$
A tedy kořeny rovnice jsou
$$t_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm8}{2}$$
Máme tak dva kořeny rovnice:
$$\large t_1=5, \qquad t_2=-3$$
V tuto chvíli tak známe řešení kvadratické rovnice t2 − 2t − 15 = 0. Zbývá nám dopočítat řešení původní bikvadratické rovnice. My víme, že pokud se t rovná pěti nebo minus třem, pak je rovnice splněna. My ale nechceme znát řešení pro t, my chceme znát řešení pro x. Víme, že t = x2, tak jsme si substituci zvolili. Proto když nyní vyřešíme rovnice
$$\large x^2 = 5 \qquad \mbox{a} \qquad x^2=-3$$
tak získáme řešení původní rovnice pro x. První rovnice je jednoduchá, pokud x2 = 5, pak
$$\large x_1 = \sqrt{5}, \qquad x_2 = -\sqrt{5}$$
U druhé rovnice je to složitější, protože x2 = −3 nemá řešení v oboru reálných čísel, museli bychom řešení nalézt v oboru komplexních čísel. Hledáme-li pouze řešení v oboru reálných čísel, pak můžeme říci, že původní bikvadratická rovnice má dva reálné kořeny $x_1 = \sqrt{5}$ a $x_2 = -\sqrt{5}$.