Binomické rovnice

Binomická rovnice je algebraická rovnice.

Definice

Obecný tvar binomické rovnice vypadá takto:

$a x^{n} + b = 0,$

kde a, b jsou libovolná reálná či komplexní čísla. Dále předpokládáme, že a, b ≠ 0 a že n je přirozené číslo.

Speciální případy binomické rovnice:

n = 1: Rovnice pak má tvar ax + b = 0 a jedná se o lineární rovnici.
n = 2: Rovnice má tvar ax² + b = 0 a jedná se o kvadratickou rovnici.

Každou binomickou rovnici můžeme převést do normovaného tvaru tak, že rovnici vydělíme číslem a. Rovnice pak bude mít tvar:

$x^{n} + \frac{b}{a} = 0$

Můžeme ještě provést substituci a místo zlomku b/a můžeme psát c. Tedy pokud c = b/a, pak bude mít rovnice tvar:

$x^{n} + c = 0$

Jak řešit binomickou rovnici

Rovnici nejprve převedeme do normovaného tvaru, následně přesuneme c na pravou stranu a tím získáme tvar rovnice

$x^{n} = - c$

Dále celou rovnici odmocníme n-tou odmocninou.

$x = \sqrt[n]{- c}$

Dále tuto rovnici řešíme pomocí vzorce pro odmocňování komplexních čísel. Ten vypadá takto:

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} [\cos (\frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n})]$

přičemž platí

$z = | z | (\cos α + i \sin α)$

a celý vzorec platí pro k = 0, 1, …, n − 1.

Příklad: vypočítejte kořeny rovnice x³ − 4 = 0. Po normalizování a odmocnění bude mít rovnice tvar:

$x = \sqrt[3]{4}$

Protože číslo −c = 4, tedy nemá žádnou imaginární složku, bude úhel α rovný nule a můžeme ho tak vypustit ze vzorce. k-tý kořen rovnice bude mít tvar:

$x_{k} = \sqrt[3]{4} [\cos (\frac{2 k π}{3}) + i \sin (\frac{2 k π}{3})]$

Nyní musíme tenhle vzorec aplikovat pro k = 0, 1, 2. Pro k = 0 dostaneme:

$x_{0} = \sqrt[3]{4} (\cos 0 + i \sin 0) = \sqrt[3]{4}$

Pro k = 1:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \sqrt[3]{4} (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}) \\ = & \sqrt[3]{4} (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & \frac{1}{2} \sqrt[3]{4} (- 1 + i \sqrt{3}) \end{array}$

Pro k = 2:

$\begin{array}{rcl} x_{2} & = & \sqrt[3]{4} (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}) \\ = & \sqrt[3]{4} (- \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ = & - \frac{1}{2} \sqrt[3]{4} (1 + i \sqrt{3}) \end{array}$

A to je vše, máme tři kořeny x₀, x₁ a x₂.

Další zdroje

« Předchozí: Bikvadratické rovnice

Další: Lineární nerovnice »