Lineární rovnice

Lineární rovnice je taková rovnice, kterou můžeme upravit na tvar ax + b = 0, kde a ≠ 0. Konkrétní příklad by mohl vypadat třeba takto: 2x + 4 = 0. Řešením této rovnice je číslo −2, což se dá asi docela logicky vydedukovat. Pokud by tam byly trochu větší čísla, už by ona dedukce nebyla tak jednoduchá, takže to bude chtít nějaký konkrétnější postup.

Základní tvar lineární rovnice

Přesněji řečeno jde o rovnici s jednou neznámou x, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na tvar ax + b = 0, kde a ≠ 0. Neznámá v ní není nijak umocněna, odmocněna apod. Rovnice s neznámou ve jmenovateli zlomku se na tento tvar dají převést jen za podmínky, že jmenovatel není nulový. Proto je řešíme zvlášť, viz lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli. Prohlédněte si příklady různých lineárních rovnic:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Jak vidíte, lineární rovnice může vypadat nejrůzněji. Aby se nám dobře řešily, potřebujeme je nejdřív sjednotit do jednoho tvaru, kterému říkáme základní tvar:

$$ax+b=0,$$

kde x je neznámá a symboly a a b jsou libovolná reálná čísla, kterým říkáme koeficienty rovnice. Přitom číslo a nesmí být nulové, tj. a ≠ 0. Výrazu ax říkáme lineární člen, výrazu b říkáme absolutní člen.

Při řešení lineární rovnice se neobejdeme bez ekvivalentních úprav, tedy takových úprav, které nezmění řešení rovnice. Bez nich se složitější rovnice vyřešit nedá. Upravit rovnici na základní tvar můžeme buď úpravou samotných výrazů, které se v rovnici vyskytují, nebo právě ekvivalentními úpravami rovnic.

Vraťme se k ukázkám výše. První rovnice, 2x + 7 = 0, už základní tvar má, takže rovnou vidíme koeficienty a = 2 a b = 7. U druhé rovnice, x − 2 = 74, to tak snadné není. Pomocí ekvivalentní úpravy k oběma stranám přičteme číslo −74 (neboli od obou stran odečteme číslo 74) a dostaneme x − 76 = 0. To už základní tvar je, s koeficienty a = 1 a b = −76.

Třetí rovnice má k základnímu tvaru ještě daleko, ale i s ní si poradíme. Nejprve „vyrobíme“ na pravé straně nulu: přičteme k oběma stranám výraz 12x. Pravá strana se tím vynuluje, protože (−12x) + 12x = 0. Celá rovnice bude vypadat takto:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Teď už nám zbývá jen odstranit závorky a sečíst členy s x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Tato lineární rovnice je v základním tvaru a její koeficienty jsou a = −8 a b = 3.

V poslední rovnici se musíme zbavit zlomků. Celou rovnici proto vynásobíme číslem 72, které je dělitelné všemi jmenovateli:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Zlomky teď zkrátíme:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Na levé straně sečteme, na pravé vynásobíme:

$$39x=405x+72$$

Zbývá poslední krok: odečteme od obou stran 405x a 72 a rovnice je v základním tvaru:

$$-366x-72=0$$

Vyšly nám tedy koeficienty a = −366 a b = −72.

Jak řešit lineární rovnici

Máme-li lineární rovnici v základním tvaru, tak už se řeší snadno. Ukažme si to na příkladu: 3x − 18 = 0. Od čeho musíme odečíst číslo 18, abychom dostali nulu? No zase od čísla 18. Takže aby se výraz 3x − 18 rovnal nule, musí se výraz 3x rovnat 18, pak dostaneme 18 − 18 = 0. Kdy se bude výraz 3x rovnat 18? Právě když platí, že x = 6, protože 3 · 6 = 18.

Jak z toho odvodíme obecný postup? Jako první musíme zjistit, čemu se má rovnat lineární člen ax. To zjistíme tak, že převedeme absolutní člen na pravou stranu rovnice, tj. k rovnici přičteme −b. Tím získáme rovnici ve tvaru ax + b − b = −b, což je totéž jako ax = −b. V případě předchozího příkladu bychom tak dostali 3x − 18 + 18 = 18, tedy 3x = 18. Nezapomeňte, že číslo b bylo rovno b = −18, takže pokud přičítáme −b, přičítáme −(−18) a to je rovno +18.

Rovnici máme ve tvaru ax = −b. Jakým způsobem získáme přímo x? V příkladu jsme hledali takové x, které když vynásobíme třemi, tak získáme 18. Co jsme ve skutečnosti dělali? Vydělili jsme 18/3 = 6. Tedy vzali jsme výraz na pravé straně (−b) a vydělili jsme ho hodnotou a, v příkladu trojkou. Takže z ax = −b dostaneme

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Celý postup aplikovaný na první příklad vypadá takto:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometrický význam

Pokud upravíme lineární rovnici do základního tvaru, pak na levé straně získáme lineární funkci. Graf lineární funkce je přímka. Protože základní tvar lineární rovnice vypadá takto ax + b = 0, tak řešení této rovnice jsou všechny body, ve kterých přímka (graf lineární funkce) protne osu x (což je zároveň graf funkce f(x) = 0, tj. pravé strany).

Například jsme zjistili, že řešením rovnice 3x − 18 = 0 je x = 6. Co to znamená? Že graf funkce 3x − 18 protíná osu x v bodě x = 6.

Zkusme graficky vyřešit rovnici 5x + 2 = 2x − 7. Jak můžeme postupovat? Můžeme rovnici upravit do základního tvaru, tj. přičteme −2x, čímž dostaneme 3x + 2 = −7 a následně přičteme 7: 3x + 9 = 0. Nyní si vykreslíme graf lineární funkce y = 3x + 9 a zjistíme, kdy protíná osu x.

Druhý způsob je, že nebudeme rovnici upravovat vůbec, ale necháme si nakreslit grafy funkcí na obou stranách rovnice. Tj. vykreslíme si grafy funkcí f(x) = 5x + 2 a g(x) = 2x − 7.

Tyto dvě přímky se protnuly v jednom bodě, označeném jako A. Jakou má tento bod A x-ovou souřadnici? Opět x = −3. Grafickým řešením rovnice 5x + 2 = 2x − 7 je tak x-ová souřadnice průsečíku grafů funkcí na levé a pravé straně.

Řešené příklady

Příklad první: Zkusíme si vyřešit rovnici 7x − 14 = 0. Situace je jednoduchá, rovnice je v základním tvaru, takže jen aplikujeme postup:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Druhý příklad: Vyřešte rovnici 2x + 10 = 0. Rovnice je opět v základním tvaru, jen si musíte dát pozor na to, že b je kladné a tak vám na pravé straně vyjde po úpravě záporné číslo:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Třetí příklad: Vyřešte rovnici 15 − 3x = 0. Rovnice je téměř v základním tvaru, potřebujeme jen dostat neznámou x na první místo. Pak máme tvar rovnice −3x + 15 = 0. Opět pozor na to, že zde máme před lineárním členem minus, což jsme dosud neměli. Úpravy budou ale úplně stejné:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Příklad můžeme řešit také trochu jinak, delším způsobem. Namísto toho, abychom rovnici rovnou vydělili číslem −3, můžeme nejprve rovnici vynásobit číslem −1, čímž se zbavíme obou minusek. A poté už můžeme rovnici vydělit trojkou:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Čtvrtý příklad: Vyřešte lineární rovnici

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Tahle rovnice už je mírně složitější, protože tam máme zlomky. Jako první se těchto zlomků musíme zbavit. Nejlepší je vynásobit celou rovnici nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů. Máme dva jmenovatele 4 a 2. Nejmenší společný násobek je 4. Pokud se vám to nechce počítat, můžete celou rovnici vynásobit násobkem všech jmenovatelů, tj. 4 · 2 = 8, ale to není doporučený postup, protože si ztížíte život o krok dál. Pokud rovnici vynásobíme čtyřmi, zbavíme se zlomků tak, že je postupně zkrátíme, zjednodušíme:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Teď převedeme rovnici na základní tvar: x − 12 = 0 a z této rovnice už vidíme, že x = 12.

Pátý příklad / slovní úloha: Mějme dva bratry, Tomáše a Jindru. Jindra šel hned po střední škole do práce, zatímco Tomáš šel ještě na vysokou školu, kterou studoval celkem pět let. Jindra dostával každý měsíc mzdu 25 000 Kč. Přestože Tomáš vystudoval obor rekreologie se zaměřením na ležení na lehátku, podařilo se mu dostat zaměstnání ve státní správě, kde dostával 35 000 Kč za měsíc. Za jak dlouho si v celkovém součtu vydělá Tomáš stejně peněz jako Jindra? Tj. pro ujasnění: za pět let si Jindra vydělal 5 · 12 · 25 000 korun, zatímco Tomáš má po pěti letech kulové. Za kolik měsíců bude tato hodnota stejná?

Ze zadání můžeme poskládat lineární rovnici takto: proměnná x bude představovat hledaný počet měsíců, přičemž x = 0 značí nula měsíců od doby, kdy Tomáš vystudoval.

Jako první si sestavíme funkci, která bude určovat Tomášův příjem v závislosti na počtu měsíců. Takže pokud nás např. zajímá Tomášův příjem po šesti měsících, pak jednoduše spočítáme, že 35 000 · 6 = 210 000 korun. Obecně můžeme napsat, že po x měsících Tomáš celkem vydělal 35 000 · x korun.

U Jindry by to bylo podobné: 25 000 · x, jenže musíme ještě přičíst částku, kterou si vydělal, když Tomáš studoval. Tomáš studoval pět let, takže Jindra v průběhu studia vydělal 5 · 12 · 25 000 korun. Celý předpis pro Jindru tak bude: 5 · 12 · 25 000 + 25 000 · x.

Tyto funkce dáme do rovnice, protože nás zajímá, pro které x se tyto výdělky rovnají:

$$5\cdot 12\cdot 25000+25000\cdot x=35000\cdot x$$

Rovnici jednoduše upravíme tak, že převedeme všechny x na jednu stranu rovnice:

$$10000x=5\cdot 12\cdot 25000$$

A nakonec už jen vydělíme 10 000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Za 150 měsíců budou mít oba stejné peníze. Jindra si za dobu Tomášova studia vydělal hezkých 5 · 12 · 25 000 = 1 500 000 korun, plus za dalších 150 měsíců si vydělal 25 000 · 150 = 3 750 000, což je celkem 1 500 000 + 3 750 000 = 5 250 000 korun. Tomáš pracoval pouze těchto 150 měsíců a za tu dobu si vydělal 35 000 · 150 = 5 250 000 korun. Vidíme, že po pěti letech studia a dalších 150 měsících si oba opravdu vydělali stejně.

Další příklady

Spočítejte následující lineární rovnici:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Jako první roznásobíme závorku:

$$2x-14=6$$

Nyní na levé straně ponecháme výraz s neznámou a na pravou stranu převedeme všechno ostatní:

$$2x=20$$

… a nakonec vydělíme dvěma.

$$x=10$$

Spočítejte rovnici

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Opět si jako první roznásobíme závorky:

$$9-3x+5x-10=0$$

Sečteme, co sečíst lze a převedeme proměnné na levou stranu a zbytek na pravou stranu:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Nakonec vydělíme celou rovnici dvěma:

$$x=\frac{1}{2}$$