Lineární rovnice

Lineární rovnice je taková rovnice, kterou můžeme upravit na tvar ax + b = 0, kde a≠0. Konkrétní příklad by mohl vypadat třeba takto: 2x + 4 = 0. Řešením této rovnice je číslo −2, což se dá asi docela logicky vydedukovat. Pokud by tam byly trochu větší čísla, už by ona dedukce nebyla tak jednoduchá, takže to bude chtít nějaký konkrétnější postup.

Základní tvar lineární rovnice

Lineární rovnice je rovnice, která obsahuje jednu neznámou x, která není nijak umocněna, odmocněna apod. Prohlédněte si příklady různých lineárních rovnic:

$$\begin{eqnarray} 2x+7&=&0\\ x-2&=&74\\ (x+3)-(7x\cdot3)&=&-12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}&=&x\cdot\frac{45}{8}+\frac{x^2}{x} \end{eqnarray}$$

Jak vidíte, lineární rovnice může mít mnoho různých tvarů. Abychom mohli lineární rovnice nějak hezky řešit, potřebujeme je upravit na základní tvar. Základní tvar lineární rovnice vypadá takto:

$$ax+b=0,$$

kde x je neznámá a symboly a a b jsou libovolná reálná čísla. Přitom číslo a nesmí být nulové, tj. a≠0. Výrazu ax říkáme lineární člen, výrazu b říkáme absolutní člen.

Při výpočtu lineární rovnice můžeme použít mnoho různých ekvivalentních úprav (to jest takové úpravy, které nezmění výsledek rovnice). Tyto úpravy je nutné znát, bez nich není možné nějakou složitější rovnici řešit. Upravit rovnici na základní tvar můžeme buď úpravou samotných výrazů, které se v rovnici vyskytují nebo můžeme použít ekvivalentní úpravy rovnic.

Z předchozích příkladů: rovnice 2x + 7 = 0 už je v základním tvaru a platí, že a = 2 a b = 7. Druhá rovnice, x − 2 = 74 není v základním tvaru. Použijeme ekvivalentní úpravu a k oběma stranám rovnice přičteme číslo −74 (neboli od obou stran odečteme číslo 74). Dostaneme rovnici x − 76 = 0. Tato rovnice už je v základním tvaru a platí a = 1 a b = −76.

Předposlední rovnice má do základního tvaru daleko, ale i tu můžeme vhodně upravit. Nejprve „vyrobíme“ na pravé straně nulu. Přičteme tak k rovnici výraz 12x. Pravou stranu tím vynulujeme, protože (−12x)+12x = 0. Celá rovnice bude vypadat takto:

$$(x+3)-(7x\cdot3)+12x=0$$

Teď už nám zbývá jen sečíst závorky.

$$\begin{eqnarray} (x+3)-(7x\cdot3)+12x&=&0\\ x+3-21x+12x&=&0\\ -8x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

Tato lineární rovnice je v základním tvaru a platí, že a = −8 a b = 3.

V poslední rovnici se musíme jednak zbavit zlomků a také musíme odstranit x², protože takový výraz v lineární rovnici být nemůže. Zlomek $\frac{x^2}{x}$ ale můžeme jednoduše pokrátit jen na výraz x. Dostaneme tak rovnici

$$\frac{x}{2}+\frac{3x}{72}=x\cdot\frac{45}{8}+x$$

Zlomků se zbavíme tak, že celou rovnici vynásobíme 72:

$$72\cdot\frac{x}{2}+72\cdot\frac{3x}{72}=72x\cdot\frac{45}{8}+72x$$

Zkrátíme:

$$36x+3x=9x\cdot45+72x$$

A tuto rovnici už jednoduše převedeme na lineární rovnici, tak že převedeme všechny výrazy na levou stranu a sečteme:

$$-438x=0$$

Platí, že a = −438 a b = 0.

Jak řešit lineární rovnici

Máme-li lineární rovnici v základním tvaru, tak už se řeší snadno. Ukažme si to na příkladu: 3x − 18 = 0. Od čeho musíme odečíst číslo 18, abychom dostali nulu? No zase od čísla 18. Takže aby se výraz 3x − 18 rovnal nule, musí se výraz 3x rovnat 18, pak dostaneme 18 − 18 = 0. Kdy se bude výraz 3x rovnat 18? Právě když platí, že x = 6, protože 3 · 6 = 18.

Jak z toho odvodíme obecný postup? Jako první musíme zjistit, čemu se má rovnat lineární člen ax. To zjistíme tak, že převedeme absolutní člen na pravou stranu rovnice, tj. k rovnici přičteme −b. Tím získáme rovnici ve tvaru ax + b − b = −b, což je totéž jako ax = −b. V případě předchozího příkladu bychom tak dostali 3x + 18 − 18 = 18, tedy 3x = 18. Nezapomeňte, že číslo b bylo rovno b = −18, takže pokud přičítáme −b, přičítáme −(−18) a to je rovno +18.

Rovnici máme ve tvaru ax = −b. Jakým způsobem získáme přímo x? V příkladu jsme hledali takové x, které když vynásobíme třemi, tak získáme 18. Co jsme ve skutečnosti dělali? Vydělili jsme 18/3 = 6. Tedy vzali jsme výraz na pravé straně (−b) a vydělili jsme ho hodnotou a, v příkladu trojkou. Takže z ax = −b dostaneme

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Celý postup aplikovaný na první příklad vypadá takto:

$$\begin{eqnarray} 3x-18&=&0\quad/+18\\ 3x&=&18\quad/:3\\ x&=&6 \end{eqnarray}$$

Geometrický význam

Pokud upravíme lineární rovnici do základního tvaru, pak na levé straně získáme lineární funkci. Graf lineární funkce je přímka. Protože základní tvar lineární rovnice vypadá takto ax + b = 0, tak řešení této rovnice jsou všechny body, ve kterých přímka (graf lineární funkce) protne osu x (což je zároveň graf funkce f(x) = 0, tj. pravé strany).

Například jsme zjistili, že řešením rovnice 3x − 18 = 0 je x = 6. Co to znamená? Že graf funkce 3x − 18 protíná osu x v bodě x = 6.

Zkusme graficky vyřešit rovnici 5x + 2 = 2x − 7. Jak můžeme postupovat? Můžeme rovnici upravit do základního tvaru, tj. přičteme −2x, čímž dostaneme 3x + 2 = −7 a následně přičteme 7: 3x + 9 = 0. Nyní si vykreslíme graf lineární funkce y = 3x + 9 a zjistíme, kdy protíná osu x.

Druhý způsob je, že nebudeme rovnici upravovat vůbec, ale necháme si nakresli grafy funkcí na obou stranách rovnice. Tj. vykreslíme si grafy funkcí f(x) = 5x + 2 a g(x) = 2x − 7.

Tyto dvě přímky se protly v jednom bodě, označený jako A. Jakou má tento bod A x-ovou souřadnici? Opět x = −3. Grafickým řešením rovnice 5x + 2 = 2x − 7 je tak x-ová souřadnice průsečíku grafů funkcí na levé a pravé straně.

Řešené příklady

Příklad první: Zkusíme si vyřešit rovnici 7x − 14 = 0. Situace je jednoduchá, rovnice je v základním tvaru, takže jen aplikujeme postup:

$$\begin{eqnarray} 7x-14&=&0\quad/+14\\ 7x&=&14\quad/:7\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Druhý příklad: Vyřešte rovnici 2x + 10 = 0. Rovnice je opět v základním tvaru, jen si musíte dát pozor na to, že b je kladné a tak vám na pravé straně vyjde po úpravě záporné číslo:

$$\begin{eqnarray} 2x+10&=&0\quad/-10\\ 2x&=&-10\quad/:2\\ x&=&-5 \end{eqnarray}$$

Třetí příklad: Vyřešte rovnici 15 − 3x = 0. Rovnice je téměř v základním tvaru, potřebujeme jen dostat neznámou x na první místo. Pak máme tvar rovnice −3x + 15 = 0. Opět pozor na to, že zde máme před lineárním členem minus, což jsme dosud neměli. Úpravy budou ale úplně stejné:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/:(-3)\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Příklad můžeme řešit také trochu jinak, delším způsobem. Namísto toho, abychom rovnici rovnou vydělili číslem −3, můžeme nejprve rovnici vynásobit číslem −1, čímž se zbavíme obou minusek. A poté už můžeme rovnici vydělit trojkou:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/\cdot(-1)\\ 3x&=&15\quad/:3\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Čtvrtý příklad: Vyřešte lineární rovnici

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Tahle rovnice už je mírně složitější, protože tam máme zlomky. Jako první se těchto zlomků musíme zbavit. Nejlepší je vynásobit celou rovnici nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů. Máme dva jmenovatele 4 a 2. Nejmenší společný násobek je 4. Pokud se vám to nechce počítat, můžete celou rovnici vynásobit násobkem všech jmenovatelů, tj. 4 · 2 = 8, ale to není doporučený postup, protože si ztížíte život o krok dál. Pokud rovnici vynásobíme čtyřmi, zbavíme se zlomků tak, že je postupně zkrátíme, zjednodušíme:

$$\begin{eqnarray} 3+\frac{x}{4}&=&\frac{x}{2}\quad/\cdot4\\ 4\cdot3+4\cdot\frac{x}{4}&=&4\cdot\frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}&=&\frac{4x}{2}\\ 12+x&=&2x \end{eqnarray}$$

Teď převedeme rovnici na základní tvar: x − 12 = 0 a z této rovnice už vidíme, že x = 12.

Pátý příklad / slovní úloha: Mějme dva bratry, Tomáše a Jindru. Jindra šel hned po střední škole do práce, zatímco Tomáš šel ještě na vysokou školu, kterou studoval celkem pět let. Jindra dostával každý měsíc mzdu 25 000 Kč. Přestože Tomáš vystudoval obor rekreologie se zaměřením na ležení na lehátku, podařilo se mu dostat zaměstnání ve státní správě, kde dostával 35 000 Kč za měsíc. Za jak dlouho si v celkovém součtu vydělá Tomáš stejně peněz jako Jindra? Tj. pro ujasnění: za pět let si Jindra vydělal 5 · 12 · 25 000 korun, zatímco Tomáš má po pěti letech kulové. Za kolik měsíců bude tato hodnota stejná?

Ze zadání můžeme poskládat lineární rovnici takto: proměnná x bude představovat hledaný počet měsíců, přičemž x = 0 značí nula měsíců od doby, kdy Tomáš vystudoval.

Jako první si sestavíme funkci, která bude určovat Tomášův příjem v závislosti na počtu měsíců. Takže pokud nás např. zajímá Tomášův příjem po šesti měsících, pak jednoduše spočítáme, že 35 000 · 6 = 210 000 korun. Obecně můžeme napsat, že po x měsících Tomáš celkem vydělal 35 000 · x korun.

u Jindry by to bylo podobné: 25 000 · x, jenže musíme ještě přičíst částku, kterou si vydělal, když Tomáš studoval. Tomáš studoval pět let, takže Jindra v průběhu studia vydělal 5 · 12 · 25 000 korun. Celý předpis pro Tomáše tak bude: 5 · 12 · 25 000 + 25 000 · x.

Tyto funkce dáme do rovnice, protože nás zajímá, pro které x se tyto výdělky rovnají:

$$ 5 \cdot 12 \cdot 25 000 + 25 000 \cdot x = 35 000 \cdot x $$

Rovnici jednoduše upravíme tak, že převedeme všechny x na jednu stranu rovnice:

$$ 10000x = 5 \cdot 12 \cdot 25 000 $$

A nakonec už jen vydělíme 10 000:

$$ x = 5 \cdot 12 \cdot 2{,}5 = 150 $$

Za 150 měsíců budou mít oba stejné peníze. Jindra si za dob Tomášova studia vydělal hezkých 5 · 12 · 25 000 = 1 500 000 korun, plus za dalších 150 měsíců si vydělal 25 000 · 150 = 3 750 000, což je celkem 1 500 000 + 3 750 000 = 5 250 000 korun. Tomáš pracoval pouze těchto 150 měsíců a za tu dobu si vydělal 35 000 · 150 = 5 250 000 korun. Vidíme, že si opravdu po pěti letech studia a po dalších 150 měsících vydělal opravdu stejně.

Další příklady

Spočítejte následující lineární rovnici:

$$2\cdot(x - 7) = 6$$

Jako první roznásobíme závorku:

$$2x-14=6$$

Nyní na levé straně ponecháme výraz s neznámou a na pravou stranu převedeme všechno ostatní:

$$2x=20$$

… a nakonec vydělíme dvěma.

$$x=10$$

Spočítejte rovnici

$$3\cdot(3 - x) + 5\cdot(x - 2) = 0$$

Opět si jako první roznásobíme závorky:

$$9-3x+5x-10=0$$

Sečteme, co sečíst lze a převedeme proměnné na levou stranu a zbytek na pravou stranu:

$$\begin{eqnarray} 9-3x+5x-10&=&0\\ 2x-1&=&0\\ 2x&=&1 \end{eqnarray}$$

Nakonec vydělíme celou rovnici dvěma:

$$x=\frac12$$