Rovnoměrné a normální rozložení četnosti

Existují dvě typická rozložení četnosti, se kterými se můžeme i v praxi běžně setkat. Jedná se o rovnoměrné rozložení četnosti a o normální rozložení četnosti.

Rovnoměrné rozložení četnosti

Rovnoměrné rozložení znamená, že se v našem souboru všechny hodnoty vyskytují stejně často. Můžeme například spočítat, kolik měsíců měly roky 2000, 2001, …, 2009:

Pokud hodíme klasickou zidealizovanou kostkou, máme pravděpodobnost $\frac{1}{6}$, že nám padne 1, pravděpodobnost $\frac{1}{6}$, že nám padne 2 atd. Mluvíme tak o rovnoměrném rozložení pravděpodobnosti, protože každý výsledek má stejnou pravděpodobnost.

Nerovnoměrné rozložení by bylo, kdybychom měli cinknutou kostku, na které by s pravděpodobností $\frac{1}{3}$ padala vždy šestka. Ostatní strany nemohou mít také pravděpodobnost $\frac{1}{3}$. Stejně tak bychom mohli spočítat počet dnů v jednotlivých měsících — ne všechny měsíce mají stejný počet dnů, takže by se nejednalo o rovnoměrné rozložení četnosti.

Normální rozložení pravděpodobnosti

Normálnímu rozložení se někdy také říká Gaussovo rozdělení. Používá se pouze u spojitých náhodných proměnných. Standardizované normální rozložení má takový tvar:

Tato křivka je popsána tzv. Gaussovou funkcí, která má tvar:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Funkce je poměrně složitá, pamatovat si ji nemusíte. Vidíme ale, že normální rozložení můžeme parametrizovat pomocí průměru a směrodatné odchylky/rozptylu. Pro různé hodnoty průměru a odchylky pak můžeme dostat různé grafy:

Normální rozložení je důležité proto, že poměrně věrně simuluje různá rozložení, se kterými se můžeme reálně setkat. Vidíme, že křivka má vždy jedno globální maximum, a to právě v bodě průměrné hodnoty. Například červená křivka má maximum v bodě X = 0, průměrná hodnota této veličiny je tak nula. Křivka je symetrická, je osově souměrná podle přímky, která je kolmá k ose X a prochází průměrem, tedy bodem X = 0. Jinými slovy — křivka vypadá nalevo od nuly stejně jako napravo od nuly. Zelená křivka má tytéž vlastnosti, pouze ne s nulou, ale s bodem X = −2.

Normální rozložení může věrně popisovat rozložení inteligence či IQ mezi lidmi. Průměrná hodnota IQ je — z definice — 100. Přitom platí, že je přibližně stejný počet lidí, kteří mají IQ vyšší než 100 a nižší než 100. Lehce podprůměrně inteligentních je přibližně stejně jako lehce nadprůměrně inteligentních a blbců je stejně jako géniů. Ač se to občas nezdá :-). Graf zobrazující přibližné rozložení IQ:

U normálního rozložení hraje velkou roli směrodatná odchylka. Pokud máme rozložení, které je normální a má odchylku σ, pak platí, že přibližně 68 % hodnot se nachází v intervalu ⟨μ − σ, μ + σ⟩. Tedy zhruba 68 % hodnot se liší od průměru maximálně o jednu směrodatnou odchylku. Přibližně 95 % hodnot pak leží v intervalu ⟨μ − 2σ, μ + 2σ⟩ a 99,7 % hodnot v intervalu ⟨μ − 3σ, μ + 3σ⟩. Přehledně to znázorňuje následující obrázek:

Odkazy a zdroje

• Některé obrázky jsou z Wikipedie, články Normální rozložení a Intelligence.
• Gaussovo rozdělení na Wikiskripta.eu