Vzdálenost bodu od roviny

Vzdálenost bodu od roviny je rovna velikost „nejkratší“ úsečky vedené od tohoto bodu k dané rovině.

Zadání

Máme rovinu danou obecnou rovnicí r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 a bod X[5, 7, 2]. Ptáme se, jaká je vzdálenost bodu X od roviny r. Do obrázku bychom to zakreslili takto:

Na obrázku máme nějakou rovinu ABCD a bod X. Velikost úsečky XF pak určuje vzdálenost bodu X od roviny. Tato úsečka je opět kolmá na rovinu, je to tak nejkratší vzdálenost bodu k rovině. (Obrázek neukazuje rovinu r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, ani bod X[5, 7, 2], jen obecně vzdálenost bodu od roviny.)

Řešení pomocí vzorce

Můžeme použít prakticky stejný vzorec, jako když jsme počítali vzdálenost bodu od přímky, jen přidáme ještě jednu dimenzi. Takže vzdálenost bodu X[x₁, x₂, x₃] a roviny r: ax + by + cz + d = 0 vypočítáme jako

$$ v(X, r) = \frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$

Odkazy a zdroje

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky