Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost bodu od přímky je rovna velikosti „nejkratší“ úsečky vedené od tohoto bodu k dané přímce.

Zadání

Máme přímku p a bod A, který na této přímce neleží. Zajímá nás, jaká je vzdálenost bodu A od přímky p. Pro příklad si vezmeme přímku danou obecnou rovnicí p: −x + 2y − 12 = 0 a bod A[6, 4]:

Vzdálenost bodu od přímky je pak rovna velikosti úsečky AB, přičemž přímka AB je kolmá k přímce p a bod B leží na přímce p. Přímku AB si označíme q.

Řešení pomocí vzorce

Pokud si nechcete nic odvozovat a nic „komplikovaně“ počítat, můžete si zkrátka jen zapamatovat vzorec. Pro bod A[a₁, a₂] a přímku p danou obecnou rovnicí p: ax + by + c = 0 je vzdálenost bodu A od přímky p rovna:

$$v(A,p)=\frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Vzorec můžeme aplikovat na předchozí příklad. Dosadíme:

$$\begin{array}{rcl}v(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 6+2\cdot 4-12|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & =& \frac{10\cdot \sqrt{5}}{5}=2\cdot \sqrt{5}\\ & \approx & \mathrm{4,472}1\end{array}$$

Postup pomocí výpočtu souřadnice průsečíku

Alternativně můžeme zkusit vypočítat souřadnice bodu B. Délku úsečky AB už pak spočítáme jednoduše přes velikost vektorů nebo přes Pythagorovu větu. K tomu nám může posloužit rovnice přímky q. Z obecné rovnice přímky p můžeme hned odvodit normálový vektor přímky p, ten je roven $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1,2)$. Protože přímky p a q jsou kolmé, tak to znamená, že když vezmeme nějaký vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$, který bude kolmý k vektoru $\overrightarrow{\mathbf{n}}$, tak tento vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}$ bude normálovým vektorem přímky q.

Takovým kolmým vektorem je například vektor $\overrightarrow{\mathbf{m}}=(2,1)$ (můžeme to ověřit například skalárním součinem). Přímka q tak má obecnou rovnici

$$q:2x+y+c=0$$

Koeficient c dopočítáme tak, že dosadíme za x a y souřadnice bodu, který na přímce jistě leží. V našem případě je to bod A[6, 4]. Dostaneme:

$$\begin{array}{rcl}2x+y+c& =& 0\\ 2\cdot 6+4+c& =& 0\\ c& =& -16\end{array}$$

Celá obecná rovnice přímky q má tvar:

$$q:2x+y-16=0$$

Nyní chceme zjistit průsečík obou přímek. Průsečík zjistíme tak, že rovnice obou přímek vložíme do soustavy rovnic a vyřešíme ji:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

První rovnici vynásobíme 2, druhou nezměníme:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24& =& 0\\ 2x+y-16& =& 0\end{array}$$

Obě rovnice sečteme:

$$\begin{array}{rcl}-2x+4y-24+(2x+y-16)& =& 0\\ 4y+y-24-16& =& 0\\ 5y& =& 40\\ y& =& 8\end{array}$$

y-ová souřadnice bodu B je y = 8. Tuto hodnotu dosadíme do nějaké rovnice, například do −x + 2y − 12 = 0:

$$\begin{array}{rcl}-x+2y-12& =& 0\\ -x+2\cdot 8-12& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

Bod B má souřadnice B[4, 8]. Nyní už známe souřadnice obou bodů. Spočítat velikost úsečky už je snadné. Můžeme z úsečky AB vytvořit vektor $\overrightarrow{AB}$ a spočítat velikost tohoto vektoru.

$$\overrightarrow{AB}=B-A=[4,8]-[6,4]=[-2,4]$$

Velikost vektoru (−2, 4) je pak rovna:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}\approx \mathrm{4,472}1$$

Odkazy a zdroje

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky