Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost bodu od přímky je rovna velikost „nejkratší“ úsečky vedené od tohoto bodu k dané přímce.

Zadání

Máme přímku p a bod A, který na této přímce neleží. Zajímá nás, jaká je vzdálenost bodu A od přímky p. Pro příklad si vezmeme přímku danou obecnou rovnicí p: −x + 2y − 12 = 0 a bod A[6,4]:

Vzdálenost bodu od přímky je pak rovna velikosti úsečky AB, přičemž přímka AB je kolmá k přímce p a bod B leží na přímce p. Přímku AB si označíme q.

Řešení pomocí vzorce

Pokud si nechcete nic odvozovat a nic „komplikovaně“ počítat, můžete si zkrátka jen zapamatovat vzorec. Pro bod A[a₁, a₂] a přímku p danou obecnou rovnicí p: ax + by + c = 0 je vzdálenost bodu A od přímky p rovna:

$$ v(A, p) = \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

Vzorec můžeme aplikovat na předchozí příklad. Dosadíme:

\begin{eqnarray} v(A, p) &=& \frac{|-1\cdot6+2\cdot4-12|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}\\ &=&\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ &=&\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\cdot\sqrt{5}\\ &\approx&4,4721 \end{eqnarray}

Postup pomocí výpočtu souřadnice průsečíku

Alternativně můžeme zkusit vypočítat souřadnice bodu B. Vzdálenost úsečky AB už pak půjde jednoduše přes velikost vektorů nebo přes Pythagorovu větu. K tomu nám může posloužit rovnice přímky q. Z obecné rovnice přímky p můžeme hned odvodit normálový vektor přímky p, ten je roven $\vec{\mathbf{n}}=(-1, 2)$. Protože přímky p a q jsou kolmé, tak to znamená, že když vezmeme nějaký vektor $\vec{\mathbf{m}}$, který bude kolmý k vektoru $\vec{\mathbf{n}}$, tak tento vektor $\vec{\mathbf{m}}$ bude normálovým vektorem přímky q.

Takovým kolmým vektorem je například vektor $\vec{\mathbf{m}}=(2, 1)$ (můžeme to ověřit například skalárním součinem). Přímka q tak má obecnou rovnici

$$ q: 2x+y+c=0 $$

Koeficient c dopočítáme tak, že dosadíme za x a y souřadnice bodu, který na přímce jistě leží. V našem případě je to bod A[6,4]. Dostaneme:

\begin{eqnarray} 2x+y+c&=&0\\ 2\cdot6+4+c&=&0\\ c&=&-16 \end{eqnarray}

Celá obecná rovnice přímky q má tvar:

$$ q: 2x+y-16=0 $$

Nyní chceme zjistit průsečík obou přímek. Průsečík zjistíme tak, že rovnice obou přímek vložíme do soustavy rovnic a vyřešíme ji:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

První rovnici vynásobíme 2, druhou nezměníme:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Obě rovnice sečteme:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24+(2x+y-18)&=&0\\ 4y+y-24-18&=&0\\ 5y&=&40\\ y&=&8 \end{eqnarray}

y-ová souřadnice bodu B je y = 8. Tuto hodnotu dosadíme do nějaké rovnice, například do −x + 2y − 12 = 0:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ -x+2\cdot8-12&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}

Bod B má souřadnice B[4, 8]. Nyní už známe souřadnice obou bodů. Spočítat velikost úsečky už je snadné. Můžeme z úsečky AB vytvořit vektor $\vec{AB}$ a spočítat velikost tohoto vektoru.

$$ \vec{AB} = B-A=[4, 8] - [6, 4] = [-2, 4] $$

Velikost vektoru (−2, 4) je pak rovna:

$$ |\vec{AB}|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5}\approx4{,}4721 $$

Odkazy a zdroje

• J. Polák: Přehled středoškolské matematiky