Vektory

Vektor představuje veličinu, která má kromě velikosti i směr. Tím se liší od obyčejného čísla, neboli skaláru, které má pouze velikost.

Orientovaná úsečka

Máme v rovině dva různé body A, B. Mezi těmito body můžeme vést úsečku. Takovou úsečku obvykle zapisujeme jako AB, přitom ale platí, že nezáleží na pořadí bodů. Úsečka AB je úplně stejná jako úsečka BA.

To se nám ne vždy může hodit a proto zavádíme pojem orientovaná úsečka, u které rozlišujeme počáteční bod a koncový bod. Orientovaná úsečka AB má počáteční bod v A a koncový bod v B. Na obrázku značíme orientovanou úsečku šipkou, v textu zapisujeme orientovanou úsečku pomocí šipky nad body: $\overrightarrow{AB}$. Příklad:

Modře je zobrazena úsečka AB, červeně orientovaná úsečka $\overrightarrow{CD}$. Pokud máme orientovanou úsečku $\overrightarrow{AB}$, pro kterou platí A = B, pak takovou úsečku nazýváme nulová orientovaná úsečka. Taková úsečka má stejný počáteční a koncový bod, člověk by ani neřekl, že je to úsečka, když je to vlastně jen jeden bod.

Velikost orientované úsečky je stejná jako velikost normální úsečky. Platí $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Směr orientované úsečky

Podívejte se na následující dvě orientované úsečky $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{CD}$:

Tak nějak na první pohled je vidět, že orientované úsečky mají stejný směr. Přestože bychom mohli pojem „směr“ řádně zadefinovat, zůstaneme raději u intuitivního chápání pojmu „směr“. Zjednodušeně řečeno mají orientované úsečky stejný směr, pokud jsou rovnoběžné a pokud jedna nemíří na opačnou stranu než druhá. Toto jsou vše dvojice orientovaných úseček, které mají stejný směr:

Poslední, zelené, úsečky jsou orientované úsečky $\overrightarrow{IJ}$ a $\overrightarrow{IK}$. Následuje příklad dvojic úseček, které nemají stejný směr:

Co je to vektor

Vraťme se k obrázku dvou orientovaných úseček se stejným směrem:

Vidíme, že tyto orientované úsečky mají nejen stejný směr, ale i stejnou velikost. Jediný rozdíl mezi těmito úsečkami je, že jsou umístěné někde jinde. Takové orientované úsečky, které mají stejný směr a stejnou velikost představují jeden a tentýž vektor.

Jeden vektor tak můžeme v rovině (prostoru…) narýsovat nekonečně mnoha způsoby — stačí vzít jakoukoliv orientovanou úsečku, která má stejný směr a stejnou velikost jako předepsaný vektor. Následující orientované úsečky tak všechny představují jeden vektor:

Vektor je daný pouze svou velikostí a směrem. Velikost vektoru a směr vektoru je stejná jako velikost a směr orientované úsečky, která reprezentuje daný vektor. Vektory obyčejně zapisujeme tučně a s šipkou stejně jako orientovanou úsečku. Můžeme tak mít vektor $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ nebo zkráceněji vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Jedna konkrétní orientovaná úsečka pak představuje umístění vektoru. V předchozím obrázku máme celkem 7 orientovaných úseček, každá tak určuje jiné umístění vektoru. Orientované úsečky $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{MN}$ představují stejný vektor, dejme tomu $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, ale jedná se o dvě různá umístění vektoru $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Kolineární vektory

Máme dva vektory $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Řekneme, že tyto vektory jsou kolineární, pokud jsou rovnoběžné. Vektory $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ nemusí mít stejnou velikost. Směr musí mít buď stejný, nebo opačný. Příklady kolineárních vektorů:

Všechny červené vektory jsou kolineární — jsou rovnoběžné. Na směru už dále nesejde, je jedno, jestli míří do pravého horního rohu, nebo do spodního levého. Modrý vektor $\overrightarrow{GH}$ kolineární není.

Nicméně pokud mají kolineární vektory stejný směr, řekneme, že jsou souhlasně kolineární, pokud nemají stejný směr, pak jsou nesouhlasně kolineární. Vraťme se k předchozímu obrázku: vektory $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{EF}$ jsou souhlasně kolineární, vektory $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{KL}$ jsou nesouhlasně kolineární.

Souřadnice vektorů

Už víme, že jeden vektor lze vyjádřit nekonečně mnoha orientovanými úsečkami. Jedna z těchto úseček má svůj počáteční bod v počátku souřadnicového systému, v bodě [0, 0] pokud je řeč o rovině a bodě [0, 0, 0] pokud je řeč o prostoru. Podívejte se na následující obrázek:

Orientované úsečky $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{CD}$ mají stejný směr a stejnou velikost, je to jeden vektor. Přitom úsečka $\overrightarrow{CD}$ vychází z počátku souřadnicového systému, souřadnice bodu C jsou [0, 0]. Totéž platí pro dvojici úseček $\overrightarrow{EF}$ a $\overrightarrow{KL}$.

Pokud víme, že úsečky $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ vychází z počátku, můžeme zavést úmluvu, že tyto vektory budeme značit pouze koncovým bodem. Počáteční bod je stejný (je to ten počátek souřadnicového systému), takže na to, abychom rozlišili úsečky $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ nám stačí, když si zapíšeme jejich koncové body.

Řekneme, že vektor $\overrightarrow{AB}$, a tedy i vektor $\overrightarrow{CD}$ má souřadnice [3, 1], což jsou souřadnice bodu D — koncového bodu úsečky $\overrightarrow{CD}$. Vektor $\overrightarrow{KL}$ má pak souřadnice [−1, 4], souřadnice bodu F.

Jak spočítat souřadnice vektoru

Teď matematický způsob určení souřadnic vektoru. Vycházíme z toho, že známe souřadnice bodů A, B, které určují vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Mějme tedy vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, určený body A[2, 3] a B[5, 4]. Je to ten červený vektor víc nahoře v předchozím obrázku. Jak nalezneme souřadnice bodu D, tj. koncového bodu orientované úsečky, která reprezentuje vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a začíná v počátku?

My zkrátka jen posuneme celou úsečku $\overrightarrow{AB}$ do počátku souřadnicového systému. Abychom dostali bod A do počátku, musíme ho posunout o 2 čtverečky doleva a o 3 čtverečky dolů. Totéž s bodem B. Jinými slovy: od obou bodů A i B odečteme souřadnice bodu A. Tím přesuneme úsečku $\overrightarrow{AB}$ do míst, kde je zakreslena úsečka $\overrightarrow{CD}$. Můžeme napsat:

$$\begin{array}{rcl}A-A=[2,3]-[2,3]& =& [0,0]\\ B-A=[5,4]-[2,3]& =& [3,1]\end{array}$$

Souřadnice vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ jsou pak souřadnice [3, 1], koncový bod orientované úsečky, která má počáteční bod v počátku.

Můžeme napsat, že máme-li vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ určený body A[x₁,y₁] a B[x₂, y₂], tak souřadnice vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ nalezneme:

$$B-A=[x_2-x_1,y_2-y_1]$$

Souřadnice vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ zapisujeme do kulatých závorek, takže souřadnice předchozího vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ bychom zapsali takto: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Můžeme se ještě vrátit k obrázku a vypočíst souřadnice vektoru $\overrightarrow{KL}$. Souřadnice bodů K a L jsou K[−2, 1], L[−3, 5]. Souřadnice vektoru tak budou

$$L-K=[-3,5]-[-2,1]=[-1,4]$$

Vidíme, že nám správně vyšly souřadnice bodu F.

Jak vypočítat velikost vektorů

Když už známe souřadnice vektorů, můžeme snadno vypočíst jejich velikost. Podle Pythagorovy věty docela snadno odvodíme, že velikost vektoru o souřadnicích $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ v rovině je

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Na následujícím obrázku vidíme, že souřadnice vektoru se shodují s délkami stran námi vytvořeného trojúhelníku a že po aplikování Pythagorovy věty opravdu lehce spočteme velikost vektoru.

Máme-li vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$, jeho velikost bude

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

A nyní následují dva příklady na procvičení probírané látky.

1. Určete souřadnice vektoru u zadaného body A[3, 7], B[−1, 0]. Zde je postup naprosto jednoduchý a přímočarý. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vektor má tedy souřadnice $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$

2. Víme, že vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ má souřadnice: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ a je tvořen body A[6, 6] a B[x₁, y₁], tj. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Zjistěte souřadnice bodu B.

   Postavíme si opět naši starou známou rovnici a z ní jen osamostatníme neznámou:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Druhou souřadnici zjistíme identickým postupem:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Bod B má souřadnice [8, 9].