Binomické rovnice
Binomická rovnice je algebraická rovnice.
Definice
Obecný tvar binomické rovnice vypadá takto:
$$ax^n+b=0,$$
kde a, b jsou libovolná reálná či komplexní čísla. Dále předpokládáme, že a, b≠0 a že n je přirozené číslo.
Speciální případy binomické rovnice:
- n = 1: Rovnice pak má tvar ax + b = 0 a jedná se o lineární rovnici.
- n = 2: Rovnice má tvar ax2 + b a jedná se o kvadratickou rovnici.
Každou binomickou rovnici můžeme převést do normovaného tvaru tak, že rovnici vydělíme číslem a. Rovnice pak bude mít tvar:
$$x^n+\frac{b}{a}=0$$
Můžeme ještě provést substituci a místo zlomku b/a můžeme psát c. Tedy pokud c = b/a, pak bude mít rovnice tvar:
$$x^n+c=0$$
Jak řešit binomickou rovnici
Rovnici nejprve převedeme do normovaného tvaru, následně přesuneme c na pravou stranu a tím získáme tvar rovnice
$$x^n=-c$$
Dále celou rovnici odmocníme n-tou odmocninou.
$$x=\sqrt[n]{-c}$$
Dále tuto rovnici řešíme pomocí vzorce pro odmocňování komplexních čísel. Ten vypadá takto:
$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$$
přičemž platí
$$z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$$
a celý vzorec platí pro k = 0, 1, …, n − 1.
Příklad: vypočítejte kořeny rovnice x3 − 4 = 0. Po normalizování a odmocnění bude mít rovnice tvar:
$$x=\sqrt[3]{4}$$
Protože číslo c = 4, tedy nemá žádnou imaginární složku, bude úhel α rovný nule a můžeme ho tak vypustit ze vzorce. k-tý kořen rovnice bude mít tvar:
$$x_k=\sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right]$$
Nyní musíme tenhle vzorec aplikovat pro k = 0, 1, 2. Pro k = 0 dostaneme:
$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos0+i\sin0)=\sqrt[3]{4}$$
Pro k = 1:
$$\begin{eqnarray} x_1=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$
Pro k = 2:
$$\begin{eqnarray} x_2=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$$
A to je vše, máme tři kořeny x0, x1 a x2.