✖

Komplexní čísla

Kapitoly: Komplexní čísla, Grafické znázornění komplexních čísel, Goniometrický tvar komplexního čísla

Komplexní čísla jsou nástavbou reálných čísel. V oboru reálných čísel můžeme dělat většinu klasických operací jako je sčítání, odečítání, násobení a dělení (krom dělení nulou). V reálných číslech můžeme také odmocňovat, ale pouze nezáporná čísla. To představuje trhlinu, například když počítáme kvadratickou rovnici a vyjde nám záporný diskriminant. Tuto trhlinu zalepují komplexní čísla.

Co je to komplexní číslo

Od běžných čísel se ta komplexní liší především v tom, že obsahují dvě části — reálnou a imaginární. Komplexní číslo je dvojice uspořádaných čísel [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imaginární komplexní číslo. Samotná čísla x a y jsou reálná.

Množina komplexních čísel se značí velkým písmenem cé: $\mathbb{C}$.

Rovnost komplexních čísel: na rozdíl od běžných čísel komplexní čísla obsahují dvě složky. Pokud se tak mají dvě komplexní čísla rovnat, musí se rovnat v obou složkách. Tato komplexní čísla jsou tak navzájem různá: [2, 3]≠[0, 3]≠[2, 0]. Komplexní čísla z1 = [1,2] a z2 = [1,2] si jsou rovna: z1 = z2.

Algebraický tvar a imaginární jednotka

Komplexní čísla se častěji zapisují v algebraickém tvaru, který vypadá následovně. Komplexní číslo [x, y] má algebraický tvar x + yi, kde i se nazývá imaginární jednotka. Pro druhou mocninu imaginární jednotky platí velmi důležitý vztah:

$$i^2=-1$$

Tato rovnice se bude dále často používat, spolu s dalšími mocninami. Vyšší mocniny se už totiž dají vypočítat běžným způsobem. Například pokud bychom chtěli zjednodušit i3, můžeme výraz podle pravidel počítání s mocninami rozložit na i2 · i. Už víme, že i2 je rovno minus jedné. Druhé íčko už nijak nerozložíme, takže dostaneme: i3 = −i.

$$\Large i^3=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot \underbrace{i}_{i}=-i$$

Podobně pro i4. To můžeme rozložit na i2 · i2, přičemž i2 = −1, takže dostáváme: −1 · − 1 = 1.

$$\Large i^4=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot\underbrace{i^2}_{-1}=-1\cdot-1=1$$

Takže i4 = 1. Toho faktu můžeme využít, pokud počítáme ještě vyšší mocniny imaginární jednotky. Například když počítáme i7, tak si to můžeme rozložit na i4 · i3. Víme, že i4 = 1, takže dostaneme: 1 · i3. A víme, že i3 = −i. Výsledek je: 1 · (−i) = −i.

Sčítání a násobení

Komplexní čísla můžeme sčítat a násobit. Při sčítání dvou komplexních čísel z1 a z2 pouze sečteme zvlášť reálné části a imaginární části:

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i) + (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Příklad: z1 = 3 + 7i a z2 = 5 + 8i. Součet by vypadal takto: z1 + z2 = (3 + 5)+(7 + 8)i = 8 + 15i.

Součin dvou komplexních čísel je už trochu složitější, ale lze to rozepsat do klasického násobení závorek. Základní vzorec vypadá takto:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

A jak jsme se k němu dostali? Zkusíme si vynásobit z1 · z2 stejně, jako bychom násobili běžnou závorku. Dostaneme:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2$$

Protože i2 = −1, dostaneme po úpravě posledního členu:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2$$

A teď už jen dáme k sobě členy bez imaginární jednotky a s ní:

$$z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

Příklad. Zkusíme vynásobit čísla 5 + 6i a 4 + 7i. Dostaneme:

$$(5+6i)\cdot(4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Opačná, převrácená a komplexně sdružená čísla

  • Opačné číslo ke komplexnímu číslu x + yi má tvar −x − yi. Podobně jako v případě reálných čísel získáme opačné číslo tak, že dané komplexní číslo vynásobíme minus jedničkou. Příklad: opačné číslo k 2 + 7i je −2 − 7i. Opačné číslo k −5 + 8i je 5 − 8i apod.

  • Převrácené číslo ke komplexnímu číslu x + yi má tvar $\frac{1}{x+yi}$. Převrácené číslo k číslu 4 − 2i má tak tvar $\frac{1}{4-2i}$.

  • Komplexně sdružené číslo k číslu x + yi má tvar x − yi. Značí se obvykle pomocí pruhu takto: $\overline{z}$, případně pomocí hvězdičky z*.Takové číslo je číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu z. Komplexně sdružené číslo k číslu 2 + 9i je číslo 2 − 9i.

Odečítání a dělení

Když už máme definované opačné a převrácené číslo, můžeme definovat také operace odečítání a dělení. Pokud chceme odečíst dvě komplexní čísla, z1 − z2, tak k číslu z1 přičteme opačné číslo čísla z2. V praxi dostaneme jednoduchý vzorec:

$$z_1-z_2=(x_1+y_1i) - (x_2+y_2i) = (x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Podobně dělení z1 / z2 převedeme na násobení tak, že vynásobíme $z_1\cdot z_2^\prime$, kde $z_2^\prime$ je převrácené číslo k číslu z2.

Absolutní hodnota

Absolutní hodnotu komplexního čísla z vypočítáme pomocí vzorečku:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}$$

(V druhé odmocnině je to druhé z komplexně sdružené číslo k z.) Význam tohoto vzorce je dobře vidět v geometrickém vyjádření komplexních čísel.

Každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna jedné, se nazývá komplexní jednotka. Příklady komplexních jednotek: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Vlastnosti absolutní hodnoty:

  • Absolutní hodnotou komplexního čísla je reálné číslo.
  • |z|≥0
  • |z| = |−z| = |z*|, kde z* je komplexně sdružené číslo.

Video

Jestli se radši koukáte, než čtete, pusťte si následující video o komplexních číslech od Mirka Olšáka.

http://www.youtube.com/watch?v=Ip69mJyF-8s

Další zdroje