Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou nástavbou reálných čísel. V oboru reálných čísel můžeme dělat většinu klasických operací jako je sčítání, odečítání, násobení a dělení (krom dělení nulou). V reálných číslech můžeme také odmocňovat, ale pouze nezáporná čísla. To představuje trhlinu, například když počítáme kvadratickou rovnici a vyjde nám záporný diskriminant. Tuto trhlinu zalepují komplexní čísla.

Co je to komplexní číslo

Od běžných čísel se ta komplexní liší především v tom, že obsahují dvě části — reálnou a imaginární. Komplexní číslo je dvojice uspořádaných čísel [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imaginární komplexní číslo. Samotná čísla x a y jsou reálná.

Množina komplexních čísel se značí velkým písmenem cé: ℂ.

Rovnost komplexních čísel: na rozdíl od běžných čísel komplexní čísla obsahují dvě složky. Pokud se tak mají dvě komplexní čísla rovnat, musí se rovnat v obou složkách. Tato komplexní čísla jsou tak navzájem různá: [2, 3] ≠ [0, 3] ≠ [2, 0]. Komplexní čísla z₁ = [1, 2] a z₂ = [1, 2] si jsou rovna: z₁ = z₂.

Algebraický tvar a imaginární jednotka

Komplexní čísla se častěji zapisují v algebraickém tvaru, který vypadá následovně. Komplexní číslo [x, y] má algebraický tvar x + yi, kde i se nazývá imaginární jednotka. Pro druhou mocninu imaginární jednotky platí velmi důležitý vztah:

$$i^2=-1$$

Tato rovnice se bude dále často používat, spolu s dalšími mocninami. Vyšší mocniny se už totiž dají vypočítat běžným způsobem. Například pokud bychom chtěli zjednodušit i³, můžeme výraz podle pravidel počítání s mocninami rozložit na i² · i. Už víme, že i² je rovno minus jedné. Druhé íčko už nijak nerozložíme, takže dostaneme: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Podobně pro i⁴. To můžeme rozložit na i² · i², přičemž i² = −1, takže dostáváme: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Takže i⁴ = 1. Toho faktu můžeme využít, pokud počítáme ještě vyšší mocniny imaginární jednotky. Například když počítáme i⁷, tak si to můžeme rozložit na i⁴ · i³. Víme, že i⁴ = 1, takže dostaneme: 1 · i³. A víme, že i³ = −i. Výsledek je: 1 · (−i) = −i.

Sčítání a násobení

Komplexní čísla můžeme sčítat a násobit. Při sčítání dvou komplexních čísel z₁ a z₂ pouze sečteme zvlášť reálné části a imaginární části:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Příklad: z₁ = 3 + 7i a z₂ = 5 + 8i. Součet by vypadal takto: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Součin dvou komplexních čísel je už trochu složitější, ale lze to rozepsat do klasického násobení závorek. Základní vzorec vypadá takto:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

A jak jsme se k němu dostali? Zkusíme si vynásobit z₁ · z₂ stejně, jako bychom násobili běžnou závorku. Dostaneme:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Protože i² = −1, dostaneme po úpravě posledního členu:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

A teď už jen dáme k sobě členy bez imaginární jednotky a s ní:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Příklad. Zkusíme vynásobit čísla 5 + 6i a 4 + 7i. Dostaneme:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Opačná, převrácená a komplexně sdružená čísla

• Opačné číslo ke komplexnímu číslu x + yi má tvar −x − yi. Podobně jako v případě reálných čísel získáme opačné číslo tak, že dané komplexní číslo vynásobíme minus jedničkou. Příklad: opačné číslo k 2 + 7i je −2 − 7i. Opačné číslo k −5 + 8i je 5 − 8i apod.

• Převrácené číslo ke komplexnímu číslu x + yi má tvar $\frac{1}{x+yi}$. Převrácené číslo k číslu 4 − 2i má tak tvar $\frac{1}{4-2i}$.

• Komplexně sdružené číslo k číslu x + yi má tvar x − yi. Značí se obvykle pomocí pruhu takto: $\bar{z}$, případně pomocí hvězdičky z*. Takové číslo je číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu z. Komplexně sdružené číslo k číslu 2 + 9i je číslo 2 − 9i.

Odečítání a dělení

Když už máme definované opačné a převrácené číslo, můžeme definovat také operace odečítání a dělení. Pokud chceme odečíst dvě komplexní čísla, z₁ − z₂, tak k číslu z₁ přičteme opačné číslo čísla z₂. V praxi dostaneme jednoduchý vzorec:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Podobně dělení z₁ / z₂ převedeme na násobení tak, že vynásobíme z₁ · z₂′, kde z₂′ je převrácené číslo k číslu z₂.

Absolutní hodnota

Absolutní hodnotu komplexního čísla z vypočítáme pomocí vzorečku:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(V druhé odmocnině je to druhé z komplexně sdružené číslo k z.) Význam tohoto vzorce je dobře vidět v geometrickém vyjádření komplexních čísel.

Každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna jedné, se nazývá komplexní jednotka. Příklady komplexních jednotek: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Vlastnosti absolutní hodnoty:

• Absolutní hodnotou komplexního čísla je reálné číslo.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, kde z* je komplexně sdružené číslo.

Video

Jestli se radši koukáte, než čtete, pusťte si následující video o komplexních číslech od Mirka Olšáka.

http://www.youtube.com/watch?v=Ip69mJyF-8s

Další zdroje

• Diplomová práce na cuni.cz
• maths.cz