✖

Báze vektorového prostoru

Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu

Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineárním obalem je prostor V.

Motivace zavedení báze vektorového prostoru

Mějme nějaký vektorový prostor V a nějakou podmnožinu W ⊂ V takovou, že lineární obal <W> této množiny je roven prostoru V, tedy <W> = V. Příklad: nechť W = {[1,0], [0,1], [2, 3]} a V = ℝ2.

Zřejmě platí, že <W> = ℝ2. Množina W má pouze tři vektory, přesto s ní jsme schopni, díky lineárnímu obalu, popsat celou nekonečnou množinu vektorů ℝ2. Nabízí se otázka — můžeme z množiny W odebrat ještě nějaké vektory a přitom zachovat vlastnost <W> = ℝ2?

Pokud bychom například vyhodili poslední vektor [2,3], získali bychom množinu W1 = {[1,0], [0,1]}. Lineárním obalem této množiny je opět ℝ2. Nabízí se tak otázka — jaká nejmenší množina vektorů má jako svůj lineární obal množinu ℝ2?

Pokud bychom z W1 odstranili jakýkoliv ze dvou zbývajících vektorů, již by tato množina, označme ji W2, neměla jako svůj obal množinu ℝ2. Např. lineárním obalem množiny W2 = {[1,0]} by byla množina <W2> = {[a,0],|,a∈ ℝ}. To jistě není rovné množině ℝ2, chybí tam kupříkladu vektor [0,1].

Množina W1 = {[1,0], [0,1]} je tak minimální množina vektorů, jejíž lineárním obalem je prostor ℝ2. Dále nás mohou zajímat další otázky:

  1. Existuje nějaká úplně jiná jednoprvková množina, jejíž lineárním obalem by byl prostor ℝ2?
  2. Existuje nějaká unikátní nejmenší množina vektorů, jejíž lineárním obalem by byl prostor ℝ2?

Jak všichni víme z bulváru, pokud je titulek novin ve tvaru otázky, tak odpověď zní ne a v tomto případě to je stejné. Neexistuje jednoprvková množina, která by měla lineární obal ℝ2. Důkaz můžeme provést takto:

Existuje jednoprvková množina, jejíž obalem je ℝ2?

Předpokládejme, že existuje množina {x} obsahující jeden vektor x, jehož všechny lineární kombinace tvoří prostor ℝ2. Pak musí existovat reálná čísla a1, a2 taková, že

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \mathbf{x} &=& \left[1{,}0\right]\\ a_2 \cdot \mathbf{x} &=& \left[0{,}1\right]\\ \end{eqnarray}$$

Proč zrovna tyto vektory? Je to vcelku jedno, jaké vektory zvolíme, jde jen o to, ať jsou lineárně nezávislé.

Označme x = [x1, x2]. Pak jistě x1, x2 ≠ 0, protože pokud by x1 = 0, pak bychom těžko získali nějakou lineární kombinací vektoru x chtěný vektor [1,0]. Totéž pro x2. Předchozí soustavu rovnic jen rozepíšeme:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \left[x_1, x_2\right] &=& \left[1{,}0\right]\\ a_2 \cdot \left[x_1, x_2\right] &=& \left[0{,}1\right]\\ \end{eqnarray}$$

To rozepíšeme do rovnic:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot x_1 &=& 1\\ a_1 \cdot x_2 &=& 0\\ a_2 \cdot x_1 &=& 0\\ a_2 \cdot x_2 &=& 1 \end{eqnarray}$$

Z druhé a třetí rovnice vyplývá, že a1 = a2 = 0, protože pokud x1, x2 ≠ 0, pak zbývá jen možnost, že a1 = a2 = 0, abychom v součinu a1 · x1 získali nulu. Což je ale ve sporu s první a čtvrtou rovnicí, protože pokud a1 = 0, pak a1 · x1 = 0, ale první rovnice říká, že a1 · x1 = 1.

Žádná jednobodová množina tak nemůže mít jako svůj lineární obal prostor ℝ2.

Existuje nejmenší množina vektorů, jejíž obalem je ℝ2?

Víme, že neexistuje jednobodová množina s touto vlastností a víme, že množina W = {[1,0], [0,1]} má jako svůj lineární obal ℝ2. Ptáme se tak, jestli je tato množina jediná dvouprvková množina, která má za svůj obal ℝ2?

Samozřejmě, že není, protože i jiná dvouprvková množina W = {[2,0], [0,2]} má obal ℝ2. Jakákoliv dvojice vektorů [a,0], [0,a], a∈ ℝ, a≠0 má jako svůj obal ℝ2. Ve skutečnosti jakákoliv dvojice lineárně nezávislých vektorů má jako svůj obal ℝ2. Existuje tak nekonečně mnoho dvoubodových množin, které mohou svým obalem generovat ℝ2.

Zároveň platí, že jakákoliv tříprvková podmnožina W3⊆ℝ2 bude tvořena závislými vektory. Proč? Pokud máme tři vektory [a, b], [c, d], [e, f], můžeme je zapsat do matice:

$$\begin{pmatrix} a&c&e\\ b&d&f \end{pmatrix}$$

Tato matice má hodnost nejvýše dva, musí tam tak nutně existovat nějaký lineárně závislý sloupec/vektor.

Definice báze vektorového prostoru

Mějme vektorový prostor V. Dále nechť B ⊆ V. Řekneme, že B je báze vektorového prostoru V, pokud platí:

  1. <B> = V
  2. B je lineárně nezávislá množina vektorů.

Báze je nezávislá množina vektorů, jejíž obalem je prostor V. Báze tak představuje minimální množinu vektorů, jejíž obalem je prostor V. Platí, že pokud bychom z báze jeden prvek odebrali, obalem by už nebyl prostor V. Pokud bychom jeden vektor přidali, byl by tento vektor lineární kombinací ostatních vektorů.

Pokud se pohybujeme v prostoru ℝn, tak platí, že množina n-tic [1,0,…,0], [0,1,0,…,0], …, [0,0,…,0,1] tvoří bázi prostoru ℝn a tato báze se nazývá standardní báze. Např. pro ℝ3 bychom získali standardní bázi [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]. Přitom by pak platilo, že vektor [a,b,c] bychom získali jako kombinaci

$$ a \cdot \left[1{,}0,0\right] + b \cdot \left[0{,}1,0\right] + c \cdot \left[0{,}0,1\right] $$

Pokud bychom odstranili vektor [0,1,0], nebyl by obalem této nové množiny ℝ3. Pokud bychom přidali vektor [14,−2,5], byl by tento vektor lineární kombinací ostatních vektorů s koeficienty a = 14, b = −2, c = 5.

Základní vlastnosti báze vektorového prostoru

  • Každý lineární prostor V má bázi s výjimkou triviálního prostoru {0} — prostoru, který obsahuje jediný, nulový vektor. Každá lineárně nezávislá množina B0 ⊆ V je buď báze prostoru V, nebo lze na bázi doplnit. Pokud B0 není báze, tj. <B0>≠ V, pak existuje vektor x0∈ V ∖ <B0>. Tento vektor není kombinací vektorů z B0. Přidáme ho do množiny B0, získáme novou množinu B1 = B0 ∪ {x0}. Opět můžeme říci, že B1 je buď báze, nebo lze na bázi doplnit. Má-li prostor V konečnou bázi, pak v konečném množství kroků získáme množinu nezávislých vektorů Bn, která bude bází prostoru V.

  • Báze prostoru není určena jednoznačně, vždy existuje více bází.

  • Všechny báze vektorového prostoru mají stejný počet prvků/vektorů nebo jsou nekonečné. Například všechny báze prostoru ℝ2 mají dva vektory, žádná množina o třech prvcích ani množina o jednom prvku není bází prostoru ℝ2.

  • Máme-li bázi B = {e1, …, en} prostoru V, pak platí, že každý vektor x z prostoru V jsme schopni vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z báze, tj. existují reálné koeficienty a1, …, an takové, že

    $$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$

    Přitom platí, že tyto koeficienty jsou jednoznačné. Tj. pokud by pro koeficienty b1, … bn platilo, že

    $$ \mathbf{x}=b_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{e}_n $$

    tak to musí znamenat, že a1 = b1, …, an = bn.

Odkazy a zdroje