Dimenze vektorového prostoru

Dimenze vektorového prostoru je rovna počtu prvků báze tohoto vektorového prostoru. Pokud je báze nekonečná, pak řekneme, že je i dimenze nekonečná.

Definice dimenze vektorového prostoru

Mějme vektorový prostor V a nějakou jeho bázi B. Tj. platí, že B ⊆ V, množina B obsahuje lineárně nezávislé vektory a lineární obal množiny B je roven prostoru V: ⟨B⟩ = V.

Pokud má báze B konečný počet prvků n, pak řekneme, že dimenze prostoru V je n. Dimenzi značíme slovem dim, takže dim V = |B| = n. Pokud je báze B nekonečná, řekneme, že dimenze prostoru je také nekonečná. Protože všechny báze prostoru jsou vždy stejně velké, je jedno, jakou bázi vezmeme.

Příklad: prostor ℝ³ má bázi [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Jsou to celkem tři vektory, tedy dim ℝ³ = 3. Obecně můžeme říci, že dim ℝⁿ = n.

Pokud má prostor V dimenzi n, mluvíme o n-rozměrném vektorovém prostoru.

Vlastnosti dimenze vektorového prostoru

• Mějme vektorový prostor V a nějaký jeho podprostor W ⊆ V. Pak platí, že dim W ≤ dim V.
• Mějme vektorový prostor V konečné dimenze a nějaký jeho podprostor W ⊂ V. Pak platí, že dim W < dim V. Tento bod je rozdílný v tom, že nepřipouštíme, aby W = V. Máme-li tak podprostor W, který je menší než V, tak tento podprostor bude mít i nižší dimenzi. Proč? Protože existuje vektor x ∈ V ∖ W, který není lineární kombinací vektorů z W a tedy není ani lineární kombinací vektorů z libovolné báze W.
• Pokud má prostor V dimenzi n, tak jakýchkoliv n lineárně nezávislých vektorů tvoří bázi prostoru V. Množina n + 1 vektorů pak tvoří lineárně závislou množinu vektorů.

Odkazy a zdroje

• O. Krupková: Lineární algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineární algebra