Lineární obal

Pokud máme nějakou množinu vektorů a spočítáme jejich všechny lineární kombinace, pak získáme lineární obal této množiny vektorů.

Definice lineárního obalu

Mějme vektory x₁, …, x_n. Už víme, že z těchto vektorů můžeme poskládat nový vektor pomocí lineární kombinace. Zvolíme reálná čísla a₁, …, a_n a nový vektor y získáme vynásobením a sečtením

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Tímto způsobem, pokud je alespoň jeden z vektorů x_i různý od nulového vektoru, můžeme z množiny vektorů x₁, …, x_n vyrobit nekonečně mnoho „dalších“ vektorů — stačí jen nějak vhodně zvolit jiné koeficienty a₁, …, a_n.

Pokud budeme generovat vektory dál a dál, získáme nakonec všechny vektory, které můžeme získat lineární kombinací vektorů x₁, …, x_n. Takovou množinu pak nazýváme lineárním obalem vektorů x₁, …, x_n. Lineární obal množiny vektorů X značíme pomocí špičatých závorek: ⟨X⟩. Formálně bychom mohli lineární obal zapsat takto

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

pokud máme konečný počet vektorů. Máme-li nekonečnou množinu vektorů X, můžeme vzít všechny konečné podmnožiny Y_i ⊆ X, tedy |Y_i| = r pro nějaké r ∈ ℕ, a lineárním obalem množiny X by pak bylo sjednocení všech množin ⟨Y_i⟩.

Příklad

Zůstaneme u oblíbeného vektorového prostoru ℝ³. Zvolíme si jednoprvkovou množinu X₁ = {[1, 2, 1]} a ptáme se, jaký je lineární obal této množiny? Jsou to všechny lineární kombinace vektoru [1, 2, 1]. Výsledný obal bude mít tvar

$$⟨X_1⟩=\{[a,2a,a]|a\in \mathbb{R}\}$$

Budou to tak vektory tvaru [3, 6, 3],[8, 16, 8],[−1, −2, −1] atd. Můžeme si zkusit ověřit, že součet některých dvou vektorů nám dá nový vektor stejného tvaru:

$$\begin{array}{rcl}[3,6,3]+[3,6,3]& =& [6,12,6]\\ [3,6,3]+[-1,-2,-1]& =& [2,4,2]\\ [8,16,8]+[2,4,2]& =& [10,20,10]\end{array}$$

Druhým příkladem mohou být klasické vektory X₂ = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}. Když spočítáme všechny lineární kombinace, tak zjistíme, že mají tvar [a, b, 0], kde a, b ∈ ℝ. Lze to ukázat jednoduše, protože

$$[a,b,0]=a\cdot [1,0,0]+b\cdot [0,1,0].$$

Vektory tohoto obalu jsou tak například [0, 8, 0], [14, 15, 0] apod. Formálně bychom to zapsali takto:

$$⟨X_2⟩=\{[a,b,0]|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Lineární obal jako nejmenší podprostor

Mějme vektorový prostor V a nějakou množinu vektorů X ⊆ V. Lineární obal ⟨X⟩ je pak vektorový podprostor prostoru V, tj. obal ⟨X⟩ je vektorový prostor.

Stačí nám prokázat, že je obal ⟨X⟩ uzavřený vůči sčítání a násobení. To jistě je, protože jakýkoliv vektor x ∈ ⟨X⟩ vznikl jako lineární kombinace vektorů z X.

Lineární obal množiny X je zároveň nejmenší podprostor, který obsahuje všechny vektory z množiny X. Proč? Nejmenší vektorový podprostor, který obsahuje vektory z X, musí obsahovat i všechny lineární kombinace vektorů z X — jinak by to nebyl vektorový prostor. Můžeme sporem předpokládat, že existuje nějaký menší vektorový podprostor, označme ho Y, který obsahuje všechny vektory z X, tedy X ⊆ Y. Protože je, dle předpokladu, Y menší než obal ⟨X⟩, tak musí existovat vektor x, který je v ⟨X⟩, ale není v Y, tedy x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Přitom ale platí, že vektor x musí jít sestrojit jako lineární kombinace vektorů z X, musí tak existovat vektory x₁, …, x_n ∈ X a koeficienty a₁, …, a_n takové, že

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Pokud ale Y tento vektor x neobsahuje a přitom obsahuje vektory x₁, …, x_n, tak Y nemůže být vektorový prostor, a tedy ani podprostor. Obal ⟨X⟩ je tak nejmenším podprostorem, který obsahuje všechny vektory z X.

Základní vlastnosti lineárního obalu

• Vždy platí, že W ⊆ ⟨W⟩. To by mělo být jasné. Lineární obal množiny W bude vždy stejný nebo větší než množina W. Protože lineární obal ⟨W⟩ obsahuje všechny lineární kombinace vektorů z W, tak ⟨W⟩ musí obsahovat i všechny vektory z W, protože pokud vezmeme nějaký vektor x ∈ W, tak platí, že pro a = 1 získáme kombinaci a · x = x.

  Příklad: lineární obal množiny W = {[1, 0, 0]} je množina

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{[a,0,0]|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Zřejmě platí, že {[1, 0, 0]} ⊆ {[a,0, 0] | a ∈ ℝ}.

• Vždy platí, že ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Pokud už jednou spočítáme lineární obal, pak lineární obal tohoto obalu je tentýž obal. ⟨W⟩ obsahuje všechny lineární kombinace z W. Pokud bychom znova spočítali všechny lineární kombinace z ⟨W⟩, nezískali bychom žádné nové.

• Mějme nějaký vektorový prostor V a mějme dvě podmnožiny tohoto prostoru (ne nutně podprostory) W₁ a W₂, tj. W₁, W₂ ⊆ V. Pokud zároveň platí, že W₁ ⊆ W₂, pak platí i ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Jinak řečeno: pokud máme dvě množiny vektorů, přičemž jedna z nich je menší, tak tato menší množina vektorů má menší nebo stejný lineární obal než ta větší množina.

  Příklad: nechť W₁ = {[1, 0, 0]} a W₂ = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}. Vidíme, že platí W₁ ⊆ W₂. Jaké by byly lineární obaly?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{[a,0,0]|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{[a,b,0]|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Množina vektorů W₂ „vygenerovala větší obal“ než množina W₁, což jsme očekávali. Množina W₂ obsahuje všechny vektory z množiny W₁, takže všechny lineární kombinace vektorů z W₁ se zároveň povede vygenerovat z vektorů v W₂.

  Jiný příklad: W₃ = {[1, 2, 0]} a W₄ = {[1, 2, 0], [5, 10, 0]}. Na první pohled je vidět, že vektory ve W₄ jsou závislé. Proto obě množiny vygenerují stejný obal. Tedy přestože W₃ ⊂ W₄, tak ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.

Odkazy a zdroje

• O. Krupková: Lineární algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineární algebra