Matice přechodu

Máme-li vektorový prostor V a dvě jeho báze, můžeme jeden vektor z prostoru vyjádřit jako kombinaci vektorů z obou bází. Matice přechodu nám pak pomáhá převádět jedno vyjádření na druhé.

Motivace

Mějme n-rozměrný vektorový prostor V a dvě jeho různé báze E = {e₁, …, e_n} a F = {f₁, …, f_n}. Dále zvolme nějaký vektor x z V. Protože x je z prostoru V a protože E i F jsou báze tohoto prostoru, tak musí platit, že existují koeficienty a₁, …, a_n takové, že:

$x = a_{1} \cdot e_{1} + \dots + a_{n} \cdot e_{n}$

a zároveň musí existovat koeficienty b₁, …, b_n takové, že:

$x = b_{1} \cdot f_{1} + \dots + b_{n} \cdot f_{n}$

V prvním případě vyjadřujeme vektor x pomocí báze E, ve druhém případě pomocí báze F. Používáme dvě různé báze na vyjádření x, získáme tak zároveň dvě různé sady koeficientů a_i a b_i. Vyvstává otázka: pokud známe koeficienty b_i, existuje nějaký způsob, jak z těchto koeficientů získat koeficienty a_i, tj. vyjádření vzhledem k první bázi?

Ano, slouží k tomu tzv. matice přechodu.

Jak získat matici přechodu

Zůstaneme u toho, že máme prostor V a dvě báze E = {e₁, …, e_n} a F = {f₁, …, f_n}. Protože E je báze prostoru V, tak jistě i všechny vektory f₁, …, f_n půjdou vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z báze E. Vektory f₁, …, f_n jsou sice součástí báze F, ale zároveň jsou běžnými prvky prostoru V, takže musí platit:

$\begin{array}{rcl} f_{1} & = & a_{11} \cdot e_{1} + a_{21} \cdot e_{2} + \dots + a_{n 1} \cdot e_{n} \\ f_{2} & = & a_{12} \cdot e_{1} + a_{22} \cdot e_{2} + \dots + a_{n 2} \cdot e_{n} \\ \dots \\ f_{n} & = & a_{1 n} \cdot e_{1} + a_{2 n} \cdot e_{2} + \dots + a_{n n} \cdot e_{n} \end{array}$

My nyní tyto rovnice přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci matice budou koeficienty vektoru $f_1$ , tj. a_i1, ve druhém koeficienty vektoru $f_2$ , tj. a_i2, apod. Dostaneme matici:

$P = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

Taková matice se pak nazývá matice přechodu od báze E k bázi F. Pokud máme vektor x = [x₁,…, x_n] z V, který má vzhledem k bázi F koeficienty b₁, …, b_n, pak koeficienty a₁, …, a_n vzhledem k bázi E získáme

$(\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}) = P \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$

Příklad

Budeme pracovat nad vektorovým prostorem ℝ³. Zvolíme jednu standardní bázi E = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} a druhou bázi F = {[2, 0, 0], [3, 2, 0], [1, 5, 4]}. Matice přechodu z báze E k bázi F bude mít tvar

$P = (\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Nyní zvolíme libovolný vektor x ∈ ℝ³, například x = [12, 41, 28]. Ten má koeficienty vzhledem k bázi F b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Provedeme tak součin matic:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ 41 \\ 28 \end{matrix})$

Vzhledem k bázi E má vektor x koeficienty a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Tedy platí:

$[12, 41, 28] = 12 \cdot [1, 0, 0] + 41 \cdot [0, 1, 0] + 28 \cdot [0, 0, 1]$

Odkazy a zdroje

Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu

« Předchozí: Dimenze vektorového prostoru

Další: Informatika »