✖

Vektorový podprostor

Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu

Vektorový podprostor je podmnožina nějakého vektorového prostoru, která je stále uzavřená na sčítání a násobení skalárem.

Definice

Mějme nějaký vektorový prostor V. Vektorovým podprostorem W by pak byla nějaká podmnožina prostoru V, přičemž množina W by zároveň byla vektorovým prostorem. Podmnožina W ⊆ V tak musí splňovat tyto dvě podmínky, aby se jednalo o vektorový podprostor prostoru V: pro všechna x, y ∈ W a pro každé a ∈ ℝ:

  • x+y ∈ W,
  • a · x ∈ W.

Musíme tak vybrat takovou podmnožinu z V, aby tyto vektory byly uzavřené na sčítání a násobení.

Podprostor prostoru R3

Zkusíme si vzít prostor ℝ3 a najdeme nějaký podprostor.

  1. Co například všechny trojice tvaru [a, a, a], kde a∈ ℝ. Tj. trojice jako $\left[1, 1, 1\right], \left[\frac12, \frac12, \frac12\right]$ nebo [−π, −π, −π]. Takový podprostor, označme ho W1 by byl podmnožinou prostoru ℝ3, tj. W1⊆ ℝ3, protože ℝ3 zkrátka obsahuje všechny trojice.

Takový prostor by byl uzavřen vzhledem k operaci sčítání vektorů, protože

$$\left[a,a,a\right]+\left[b,b,b\right]=\left[a+b, a+b,a+b\right].$$

Po sečtení dvou vektorů bychom získali nový vektor, který by měl opět tři stejné členy, a takový vektor je obsažen v množině W1. Množina W1 tak splňuje první podmínku vektorového podprostoru. Splňuje ale druhou podmínku?

Ano, splňuje, protože k-násobek opět změní všechny tři složky vektory, ale změní je úplně stejně:

$$k\cdot\left[a,a,a\right]=\left[k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a\right].$$

Opět dostaneme vektor, který má všechny tři složky stejné, a takový vektor je v množině W1. Množina W1 tak je vektorovým podprostorem ℝ3.

  • Můžeme zkusit vzít všechny trojice [a, b, c] takové, že a, b, c ∈ <−1, 1>. Tuto množinu označíme W2 a prvky jsou například trojice $\left[\frac12, -\frac27, \frac89\right]$ nebo $\left[0, \frac{\pi}{4}, 1\right]$. Jsou prvky W2 uzavřené na sčítání? Určitě nejsou, protože $\left[1, 1, 1\right]+\left[\frac12, \frac13, \frac14\right]$ je rovno trojici $\left[\frac32, \frac43, \frac54\right]$, která nepatří do W2. Množina W2 tak netvoří podprostor prostoru V, množina W2 vůbec netvoří prostor.

  • Nyní vezmeme všechny trojice tvaru [a, 0, b], kde a, b∈ ℝ. Jsou to všechny trojice, které mají druhou složku nulovou. Označme tuto množinu W3. Je tato množina uzavřena na sčítání? Ano, je, protože

$$\left[a, 0, b\right]+\left[c, 0, d\right]=\left[a+c, 0, b+d\right]$$

Výsledkem je trojice [a + c, 0, b + d], která má druhou složku nulovou a na ostatních dvou jsou reálná čísla. Tato trojice jistě je v W3. Je W3 uzavřena vůči násobení? Ano, je, protože

$$k\cdot\left[a, 0, b\right]=\left[k\cdot a, 0, k\cdot b\right]$$

Opět získáme trojici [k · a, 0, k · b], která má druhou složku vždy nulovou a ostatní složky jsou reálná čísla. Taková trojice je prvkem W3. Množina W3 tak formuje podprostor prostoru V. Všimněme si, že kdyby trojice měly tvar [a, b, 0] nebo [a, 0, 0], tak by také tvořily vektorový podprostor.

Podprostor polynomů

V předchozím článku jsme si ukázali vektorový prostor složený z polynomů. Pro zopakování: polynom je výraz tvaru

$$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n.$$

Předpokládáme, že an≠0. Stupeň takového polynomu je pak právě číslo n. Reálná čísla a0, …, an nazýváme koeficienty polynomu. Příkladem polynomu může být výraz 4 + 3x − 7x2. Zkusíme najít nějaký vektorový podprostor. Mějme tak vektorový prostor P(x) všech polynomů.

  1. Jako první zkusíme množinu všech polynomů stupně n, kde n≥0 označme tuto množinu W1. V předchozím články už jsme uvedli, že to vůbec není vektorový prostor, takže to těžko bude vektorový podprostor prostoru P(x). Zopakujme tak, že když například vynásobíme polynom v W1 nulou, získáme polynom p(x) = 0, který má z definice stupeň −1. Tento prvek tak jistě není v žádném W1.

  2. Zkusíme za W2 vzít všechny polynomy stupně n a menší. Takže pro n = 2 budou v W2 všechny polynomy stupně 2, 1, 0, −1. Je tato množina uzavřena na sčítání? Ano, je, protože součet dvou polynomů stupně n nikdy nebude větší než n, může být jen menší. Stejně tak je tato množina uzavřena na násobení, protože jakýkoliv k-násobek polynomu p(x) může mít za výsledek buď polynom stejného stupně, nebo nulový polynom. Obě možnosti pokrývá množina W2, takže W2 formuje podprostor prostoru P(X).

Základní vlastnosti podprostorů

Mějme vektorový prostor V a dva jeho podprotory W1 a W2. Pak platí, že

  1. Průnik W1 ∩ W2 je vektorový podprostor V.

    Mějme vektorový prostor ℝ3 a podprostory W1 a W2 takové, že W1 je tvořeno trojicemi tvaru [a, b, 0] a W2 trojicemi tvaru [a, 0, b], kde a, b ∈ ℝ. Průnikem W1 ∩ W2 tak bude množina obsahující trojice tvaru [a, 0, 0] — taková množina je zjevně podprostorem prostoru ℝ3.

    To ale samozřejmě není důkaz. Ten by vypadal takto: vezmeme libovolný vektorový prostor V a jeho dva podprostory W1 a W2. Chceme nyní dokázat, že pro všechna x, y ∈ W1∩ W2 platí, že x+y∈ W1∩ W2.

    Protože jsou vektory x a y obsaženy v průniku W1∩ W2, tak jistě musí platit, že x, y∈ W1 a zároveň x, y ∈ W2 (to platí z definice průniku množin). Protože W1 a W2 jsou zároveň vektorovými prostory, musí i platit, že x+y∈ W1 a zároveň musí platit x+y∈ W2 (to platí z definice vektorových prostorů). Nyní ale máme, že x+y∈ W1 a zároveň x+y∈ W2, z čehož vyplývá, že x+y∈ W1∩ W2 (opět na základě definice průniku množin — pokud leží prvek v množině W1 a leží i v množině W2, musí ležet i v jejich průniku).

    Dále musíme ověřit uzavřenost násobení. Musíme dokázat, že pro všechna k∈ ℝ a x∈ W1∩ W2 platí, že k · x∈ W1∩ W2. Postup bude stejný. Protože x∈ W1∩ W2, tak zároveň i x∈ W1 a x∈ W2. Protože W1 a W2 jsou prostory, tak k · x∈ W1 a zároveň k · x ∈ W2 a tedy k · x ∈ W1 ∩ W2. $\Box$

  2. Sjednocení W1 ∪ W2 nemusí nutně být podprostorem V.

    Abychom dokázali druhou vlastnost, stačí nalézt vhodný protipříklad. Vystačíme si s předchozími prostory W1 a W2, které mají trojice tvaru [a, b, 0], respektive [a, 0, b]. Pokud uděláme jejich sjednocení, získáme všechny trojice, které musí mít nulu na druhém nebo třetím místě. Takže vektory [1,0,1] a [1, 1, 0] jistě jsou ve sjednocení W1 ∪ W2. Přitom ale jejich součet je rovný vektoru [2, 1, 1], což je vektor, který nemá nulu nikde. Tento vektor není ani v W1, ani v W2, takže nemůže být ani v W1 ∪ W2. Našli jsme tak dva vektory, jejichž součet nepatří do stejné množiny, takže se nemůže jednat o vektorový prostor.

Odkazy a zdroje

Hledáme programátory!