✖

Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

Pokud vám při řešení kvadratické rovnice vyjde záporný diskriminant, znamená to, že rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Nicméně tato rovnice má vždy řešení v oboru komplexních čísel.

Motivace

Zkusme vyřešit následující kvadratickou rovnici: x2 + 2x + 5 = 0. Jako první spočítáme diskriminant: D = 4 − 20 = −16. Jak už víme, tato rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Komplexní čísla mají ale tu výhodu, že nám umožňují odmocnit i záporné číslo. Protože platí, že i2 = −1, můžeme náš diskriminant přepsat do podoby −16 = 16i2. Toto číslo už můžeme odmocnit a dostaneme 4i. Dopočítáme řešení kvadratické rovnice:

x1=−2+16i22=−2+4i2=2(−1+2i)2=2i−1.

x2=−2−16i22=−2−4i2=2(−1−2i)2=−2i−1.

Vzorce a vztahy

Z předchozího příkladu můžeme odvodit vzorec na výpočet kořenů kvadratické rovnice, pokud je diskriminant záporný:

x1,2=−b±i|D|2a.

Z tohoto tedy plyne, že každá kvadratická rovnice má řešení. Pokud je diskriminant nezáporný, stačí nám reálná čísla, pokud je diskriminant záporný, musíme rovnici řešit v komplexních číslech. Obecně můžeme říci, že každá kvadratická rovnice má řešení v oboru komplexních čísel.

I pro tyto komplexní kořeny platí Vietovy vzorce. Nejprve odvození pro součet:

x1+x2=−b+i|D|2a+−b−i|D|2a=−b+i|D|−b−i|D|2a=−2b2a=−ba

A pro součin. Využijeme toho, že diskriminant je záporný a protože ho potřebujeme odmocnit, budeme počítat s minus D, čímž dostaneme kladné číslo. Namísto |D| tak budeme psát −D, výsledek je stejný.

x1⋅x2=−b+i−D2a⋅−b−i−D2a=b2+b⋅i−D−b⋅i−D−(−D)i24a2=b2+Di24a2=b2−D4a2=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca

Příklad

Vyřešte kvadratickou rovnici 2x2 + 6x + 9 = 0. Spočítáme diskriminant: D = 36 − 72 = −36. Záporné číslo, takže použijeme vzorec pro komplexní kořeny a jen dosadíme:

x1=−b+i|D|2a=−6+i364=−6+6i4=3(i−1)2=−32+3i2

x2=−b−i|D|2a=…=−32−3i2

Kapitoly: Základní kvadratická rovnice, Řešení pomocí diskriminantu, Parametrická kvadratická rovnice, Řešení v oboru komplexních čísel