Integrace substitucí

Substituční metoda je velice účinná metoda při integrování. Během integrování nahradíme část funkce jinou funkcí, zintegrujeme a nahradíme zpět.

Základní vzorec

Mějme funkci f a její primitivní funkci F na intervalu J. Dále mějme reálnou funkci ϕ, která je derivovatelná na intervalu I a přitom ϕ(I) ⊆ J. Pak platí

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Jak jsme se z levé strany dostali na pravou?

Tuto větu budeme používat tak, že zvolíme substituci x = ϕ(t) a změníme integrační proměnnou — z dt dostaneme dx. Derivace x podle t je $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, takže dx = ϕ′(t) dt. Integrál na levé straně tak upravíme tak, že nahradíme ϕ(t) za x a celý součin ϕ′(t) dt za dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Dále dle předpokladu je F primitivní funkce k funkci f, takže můžeme celý integrál nahradit funkcí F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

A nakonec vrátíme zpět substituci, místo x napíšeme původní ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Dostali jsme tak rovnost z úvodu:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Přibližně takto budeme tuto větu i používat.

Příklad první

Spočítejte tento integrál:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

My známe vzorec na integrál sin x (nebo zde sin t), ale neznáme vzorec na sin 6t. Použijeme tedy substituci. Budeme substituovat takto: x = 6t. Podle předchozího vzorce platí:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

kde x = ϕ(t). Pro náš konkrétní případ platí, že f = sin a ϕ(t) = 6t. Tedy dle vzorce platí tento vztah:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

kde x = 6t. Problém je, že my chceme spočítat integrál sin 6t, nikoli integrál (sin 6t) · (6t)′. Jak z toho ven? Zkusíme tu funkci 6t zderivovat. Dostaneme:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Číslo šest je konstanta, kterou můžeme vytknout před celý integrál:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nyní celou rovnici vydělíme šesti:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Na levé straně už máme původní funkci, kterou jsme na začátku chtěli počítat. Už jen dopočítáme integrál na pravé straně. Integrál sin x je rovný −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

A za x zpátky dosadíme 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

A to už je hotový výsledek.

Příklad první jednodušeji

Předchozí postup byl sice správný, ale obyčejně se substituce zapisuje trochu jinak. Znova zadání:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Substituci zapíšeme do závorek za integrál takto:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Do prvního řádku napíšeme naši substituci, tj. x = 6t. Nyní obě strany zderivujeme. Levou podle x a pravou podle t. Ve druhém řádku prvního sloupce budeme mít vždy dx, protože derivace x nám vždy vyjde 1. Výraz dx tak jen označuje, že jsme derivovali podle x.

Pravou stranu zderivujeme úplně normálně podle t. Dostaneme (6t)′ = 6 a připíšeme dt, protože jsme derivovali podle t. Pokud si chceme ulehčit práci, můžeme si tam ještě napsat osamostatněné dt:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

V dalším kroku provedeme samotnou substituci. Takže co budeme za co nahrazovat? Chceme mít místo 6t výraz x, takže to bude první substituce. Protože dosazujeme do funkce novou proměnnou x, musíme zároveň změnit i dt. Namísto dt tak dosadíme osamostatněnou hodnotu ve třetím řádku, tj. dx/6.

Rekapitulace: místo 6t napíšeme x (první řádek) a místo dt napíšeme dx/6 (třetí řádek). Dostaneme:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Odtud už je postup úplně normální. Šestku vytkneme před integrál:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Sinus zintegrujeme:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

A dosadíme zpět za x výraz 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Druhý příklad

Spočítejte integrál substituční metodou:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Tangens bychom asi našli v nějakých tabulkách, ale klidně si tento integrál můžeme spočítat sami. Jako první si rozložíme tangens na podíl sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Substituci zvolíme takto: x = cos t. Dostaneme:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nyní si ještě osamostatníme dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Nyní můžeme dosadit do integrálu. Místo cos t napíšeme x a místo dt napíšeme −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Drobným problémem je, že nám ve výrazu zůstala předchozí integrační proměnná t, a to v sinu. Naštěstí se nám ale oba siny vykrátí a zůstane nám:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

To si trochu rozepíšeme, abychom z toho dostali hezčí výraz. dx přesuneme za zlomek a do čitatele vepíšeme jedničku. Minus přesuneme před integrál:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Integrál z 1/x už známe, to je logaritmus. Takže dostáváme:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

A ještě zpět dosadíme za x původní cos t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Třetí příklad

Spočítejte integrál substituční metodou:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Může vás zmást, že v integrandu máme dvě proměnné: x a t. To vůbec nevadí, protože podle dt víme, že integrujeme podle proměnné t a x se tak chová jako konstanta. Takže nebojme se vlka nic a přesuňme x před integrál:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Vzorců pro sin³ moc nemáme, ale něco by se našlo pro sin², takže upravíme funkci takto:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nyní sin² rozložíme podle vzorce sin²t = (1 − cos²t). Dostáváme integrál:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nyní provedeme substituci. Proměnnou x máme zabranou, takže použijeme například y. A zvolíme y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Osamostatníme si dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

A dosadíme do integrálu:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Siny se nám opět hezky zkrátí:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Tenhle integrál už můžeme rozložit do dvou integrálů:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

To už jsou vše tabulkové hodnoty:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Teď dosadíme zpět za y původní cos t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

To už je finální výsledek.

Zdroje

• Primitivní funkce, Jan Tomeček [PDF]
• Math tutor: Substituce (ČVUT)