Integrace per partes
Kapitoly: Integrál, Integrace per partes, Integrace substitucí, Určitý integrál
Integrace per partes, česky integrace po částech, se používá v případě, kdy chceme najít primitivní funkci k funkci, která je v součinovém tvaru.
Odvození vzorce
Odvození založíme na klasickém vzorci o derivacích.
$$ (u\cdot v)^{\prime} = u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime} $$
Předpokládejme tak, že máme funkce u a v a že jsou na nějakém intervalu J derivovatelné, tj. existuje $u^{\prime}$ a $v^{\prime}$. Nyní obě strany zintegrujeme. Dostáváme:
$$ \int (u\cdot v)^{\prime} = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$
Z levé strany můžeme odstranit integrál a derivaci, protože pokud zderivujeme nějakou funkci a následně ji zpět zintegrujeme, dostaneme původní funkci (až na konstantu c).
$$ u\cdot v = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$
Osamostatníme integrál, ve kterém derivujeme funkci v:
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
Tedy funkce $u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v$ je primitivní funkce k funkci $\int u\cdot v^{\prime}$. Tohoto budeme dále využívat.
Příklad první
Na příkladu si ukážeme, jak budeme metodu per partes používat. Vypočítáme si integrál
$$ \int x\cdot \cos x \mbox{ d}x $$
Tento typ příkladu se běžnými prostředky, jaké jsme si představili v základním článku o integrálech, řešit nedá. Protože je zadaná funkce ve tvaru součinu, použijeme metodu per partes.
Ve vzorci
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
máme funkce u a v, ty musíme nějak vhodně zvolit. Tedy co se teď po nás chce — podle předchozího vzorce umíme vypočítat integrál $\int u\cdot v^{\prime}$. Nicméně v zadání nic takového nemáme, tam máme x · cos x, nikde žádná derivace v, jak po nás chce vzorec. Musíme tak rozložit funkci x · cos x na součin dvou funkcí. O jedné funkci prohlásíme, že to bude u a o druhé $v^{\prime}$.
Vhodná volba je velmi důležitá, protože při špatné volbě si postup spíše zkomplikujeme. Podívejte se, co dostaneme na pravé straně, pokud použijeme předchozí vzorec. S výrazem u · v nebude problém, ale budeme muset spočítat integrál $\int u^{\prime} \cdot v$. Funkci u bychom tak měli umět zderivovat a funkci $v^{\prime}$ bychom měli umět zintegrovat.
Funkce zvolíme takto:
$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x $$
Tím jsme získali levou stranu rovnice, protože ta obsahuje v integrálu právě součin $u \cdot v^{\prime}$. Na pravé straně máme dále součin u · v a další integrál. Musíme tak vypočítat $u^{\prime}$ a v. Derivace u je jednoduchá:
$$ u^{\prime} = x^{\prime} = 1 $$
Nyní musíme z $v^{\prime}$ vypočítat v, tedy zintegrujeme $v^{\prime}$. Ještě jednou — my jsme si zvolili, že $v^{\prime} = \cos x$. Nicméně na pravé straně rovnice pracujeme s hodnotou v, bez derivace. Neboli pokud zderivujeme to v, které se nachází v integrandu na pravé straně rovnice, musíme dostat právě námi zvolené $v^{\prime}$ z levé strany rovnice. Takže hledáme funkci, která bude po zderivování rovna cos x. Jinak řečeno — integrujeme $v^{\prime}$.
$$ v=\int v^{\prime}=\int \cos x = \sin x $$
Zapíšeme si do tabulky, co už známe:
$$\begin{bmatrix} u = x,&v^{\prime}=\cos x\\ u^{\prime} = 1, &v=\sin x \end{bmatrix}$$
Z této tabulky dosadíme do vzorce
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v, $$
čímž dostaneme toto:
$$ \int x \cdot \cos x = x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x $$
Vidíme, že jsme dokázali upravit integrál do jiné podoby, kterou už vyřešíme snadněji. Výraz x · sin x už dále upravovat nebudeme, pouze dopočítáme integrál vpravo. To už je jednoduchý tabulkový integrál:
$$ \int \sin x \mbox{ d}x = -\cos x + c $$
Takže můžeme napsat, že
$$\begin{eqnarray} \int x \cdot \cos x &=& x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x\\ &=& x\cdot \sin x - (-\cos x)\\ &=& x\cdot \sin x + \cos x+c \end{eqnarray}$$
To už je výsledek.
Špatná volba funkcí
Zkusíme si na tomto příkladě ještě ukázat, co by se stalo, kdybych funkce u a $v^{\prime}$ volili jinak. Předtím jsme volili
$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x, $$
takže teď to zkusíme obráceně:
$$ u = \cos x,\qquad v^{\prime} = x $$
Dopočítáme hodnoty $u^{\prime}$ a v. Dostaneme:
$$ u^{\prime}=(\cos x)^{\prime} = -\sin x $$
Teď zintegrujeme $v^{\prime}$:
$$ \int x \mbox{ d}x=\frac{x^2}{2} $$
Zapíšeme si to do tabulky:
$$ \begin{bmatrix} u = \cos x,&v^{\prime}=x\\ u^{\prime} = -\sin x,&v=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} $$
Dosadíme do vzorečku:
$$ \int x\cos x = \cos x\cdot\frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot\frac{x^2}{2} $$
Vidíme, že jsme si moc nepomohli. V zadání máme integrál z x · cos x a teď jsme se metodou per partes dostali k integrálu $-\sin x\cdot\frac{x^2}{2}$. Tudy ne.
Jak volit funkce u a v'
Bohužel žádné univerzální pravidlo neexistuje, musíte mít trochu toho citu. Pak také pomůže, když se podíváte, co s těmi funkcemi budete dále dělat. Základní vzorec, ze kterého vycházíme, vypadá takto:
$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$
Pokud integrujeme funkci f, která je ve tvaru součinu, snažíme se ji rozložit na funkce u a $v^{\prime}$ tak, aby platilo $f = u \cdot v^{\prime}$. Cílem metody per partes je, aby integrál na pravé straně $\int u^{\prime} \cdot v$ byl jednodušší než integrál na levé straně. Výraz u · v nás moc nezajímá, ten může být libovolně složitý.
Abychom docílili toho, že integrál napravo bude jednodušší, je vhodné zvolit za u takovou funkci, která se po zderivování zjednoduší. Typicky tak jde o funkce typu xn, tam se po zderivování funkce o řád zjednoduší. Například z x2 dostaneme 2x a z x dostaneme 1 — to je úplně ideální.
Naopak za $v^{\prime}$ se snažíme brát něco, co po zintegrování nebude složitější. Nemůžeme obvykle čekat, že po integraci $v^{\prime}$ dostaneme jednodušší funkci, ale můžeme doufat v přibližně stejně složitou funkci. Typicky tak jde o sinus a cosinus, protože jeden se zintegruje na toho druhého, což nám nevadí.
Druhý příklad
Zkusíme nějaký složitější příklad:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x $$
Integrál funkce ex je zase ex, takže to bude ideální kandidát na integrování. Naopak, derivací x2 dostaneme 2x, což je jednodušší výraz. Takže zvolíme funkce takto:
$$ u=x^2,\qquad v=e^x $$
Celá tabulka bude vypadat takto:
$$ \begin{bmatrix} u=x^2,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2x,&v=e^x \end{bmatrix} $$
Dosadíme do vzorce:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Dostali jsme jednodušší integrál, ale ještě stále ho nejsme schopni úplně vypočítat. Provedeme další kolo per partes. Nyní tak budeme počítat tento integrál:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Postup bude stejný jako v předchozím kroku. Zvolíme funkce takto:
$$ \begin{bmatrix} u=2x,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2,&v=e^x \end{bmatrix} $$
A dostaneme:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \mbox{ d}x $$
Číslo 2 vytkneme před integrál a dostaneme:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot\int e^x \mbox{ d}x $$
A integrál ex je zase ex:
$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot e^x $$
Tento výsledek zpětně dosadíme do předchozí rovnice:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$
Po dosazení dostaneme:
$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x) $$
A teď už jen výsledek trochu upravíme do lidštější podoby. Nejprve odstraníme závorku tím, že její obsah vynásobíme −1 a poté vytkneme ex:
$$\begin{eqnarray} \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x &=& x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x)\\ &=& x^2\cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2\cdot e^x\\ &=& e^x (x^2-2x+2) \end{eqnarray}$$
A máme výsledek.
Integrál logaritmu
Tohle je takový integrálový per partesový evergreen. Pohleďte na zadání integrálové legendy:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x $$
Zajímavé na tomto integrálu je, že přestože tam není žádný součin, budeme ho řešit pomocí per partes. Jednoduše tak, že ten logaritmus vynásobíme jedničkou. Tím nezměníme funkci, kterou integrujeme, ale dostaneme tam násobení.
$$ \int 1\cdot\ln x \mbox{ d}x $$
Jak zvolit funkce u a $v^{\prime}$? Funkci ln x integrovat zatím neumíme (její integrál právě hledáme), takže logaritmus budeme derivovat. Integrovat budeme jedničku. Z toho dostáváme:
$$ u = \ln x, \qquad v^{\prime} = 1 $$
Derivace logaritmu je 1/x:
$$ (\ln x)^{\prime} = \frac1x $$
a integrál jedničky je x:
$$ \int 1 \mbox{ d}x = x $$
Doplníme do tabulky:
$$ \begin{bmatrix} u=\ln x,&v^{\prime}=1\\ u^{\prime}=\frac1x,&v=x \end{bmatrix} $$
A dosadíme do vzorce:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-\int \frac1x\cdot x \mbox{ d}x $$
Vypočítáme integrál na pravé straně:
$$ \int\frac1x\cdot x \mbox{ d}x = \int 1 \mbox{ d}x = x $$
Dostáváme tak výsledek:
$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-x+c $$