Komutativita

Komutativita je vlastnost operací jako je třeba sčítání. Můžeme si všimnout, že u sčítání nezáleží na pořadí, takže 3 + 5 je totéž jako 5 + 3. Ať sečteme jakákoliv dvě reálná čísla a + b, bude výsledek stejný, i když prohodíme sčítaná čísla: b + a. Pokud nějaká operace splňuje tuto podmínku, řekneme o ní, že je komutativní.

Příkladem další operace, která je komutativní, je násobení, protože platí, že 2 · 6 má stejný výsledek jako 6 · 2 a totéž platí pro jakákoliv dvě čísla a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Příkladem operace, která není komutativní, je odečítání, protože 7 − 4 je něco jiného než 4 − 7. V prvním případě dostaneme výsledek 3, ve druhém případě dostaneme −3. Dalším příkladem je dělení, protože 2 / 5 je něco jiného než 5 / 2.

Dávejte si ale pozor na další vlastnosti operací, například na prioritu násobení. Máme-li výraz 1 + 2 · 3, tak si nemůžeme říci, že je to totéž jako 2 + 1 · 3. Priorita násobení má totiž přednost před sčítáním. Můžeme si pomoci závorkami: výraz 1 + 2 · 3 je stejný jako 1 + (2 · 3). Pokud chceme uplatnit zákon komutativity sčítání, tak můžeme, ale musíme vzít s sebou celou závorku: 1 + (2 · 3) se rovná (2 · 3) + 1 a to se rovná (3 · 2) + 1, pokud ještě uplatníme komutativitu násobení.

Množinové operace a komutativita

Komutativní nemusí být pouze operace s čísly, ale například i operace s množinami. Například průnik množin A a B je komutativní operace. Průnikem dvou množin jsou „prvky, které se nachází v obou množinách“, tedy

$$A\cap B=B\cap A$$

Úplně stejně to bude fungovat u sjednocení množin A a B, jehož výsledkem jsou „prvky, které se nachází alespoň v jedné z množin“ a tedy:

$$A\cup B=B\cup A$$

Komutativní není například množinový rozdíl.

Vektory

Jednu z dalších komutativních operací můžeme najít mezi operacemi s vektory a to je sčítání vektorů — obecně, sčítání většinou komutativní operace je. V tomto případě, máme-li dva vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{v}$, tak platí, že

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Graficky to znázorňuje následující obrázek:

Součet $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ znázorňuje „horní cesta“, kdy nejdřív aplikujeme červený vektor $\overrightarrow{u}$ a až poté modrý vektor $\overrightarrow{v}$. Součet $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ znázorňuje „dolní cesta“, nejprve jdeme cestou modrého vektoru $\overrightarrow{v}$ a pak červeného vektoru $\overrightarrow{u}$. Výsledek je ale stejný, vektory skončí ve stejném bodě.

Můžete si to představit, jako když byste vyšli z nějakého místa a šli padesát metrů na sever a pak dvacet metrů na západ. Když byste nejdřív šli dvacet metrů na západ a pak padesát metrů na sever, skončili byste na stejném místě. Takovéto chození je tedy komutativní.

Logika

Mezi komutativní operace patří také logické operátory „a zároveň“ (konjunkce) a „nebo“ (disjunkce). Znamená to, že výrok „číslo 5 je liché a zároveň prvočíslo“ má stejnou platnost jako výrok „číslo 5 je prvočíslo a zároveň je liché“. Podobně pro disjunkci: „číslo 6 je prvočíslo nebo je sudé“ má stejnou platnost jako výrok „číslo 6 je sudé nebo je prvočíslo“.

Komutativní ale není implikace, tedy výrok „pokud vyhraji ve sportce, tak budu bohatý“ není totéž jako „pokud budu bohatý, pak vyhraji ve sportce“.