Sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk množin

Mezi množinami můžeme provádět různé množinové operace. Mezi nejzákladnější patří sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk.

Sjednocení množin

Sjednocení množin označujeme symbolem ∪, tedy sjednocení množin A a B označíme klasicky: A ∪ B. Sjednocením množin A a B vznikne nová množina, která bude obsahovat všechny prvky z množiny A a také všechny prvky z množiny B. Definice:

$$A \cup B = \left\{x | x \in A \vee x \in B\right\}$$

Ukázkový příklad: Mějme dvě množiny A = {1, 3, 5, 7} a B = {2, 4, 6}. Sjednocením vznikne množina: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Výsledná množina obsahuje prvky obou množin.

Další příklad: A = {1, 2, 3} a B = {2, 3, 4}. Sjednocením dostaneme: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Prvky 2 a 3 nebudou ve výsledné množině dvakrát, protože množina neobsahuje jeden prvek vícekrát.

Další vlastnosti:

• A ∪ A = A: pokud sjednotíme dvě stejné množiny, dostaneme zase tutéž množinu.
• A ∪ B = B ∪ A: sjednocení je komutativní, nezáleží na pořadí.
• A ∪ ∅ = A: prázdná množina neobsahuje žádný prvek, takže není co sjednocovat.

Průnik množin

Průnikem dvou množin A a B vznikne nová množina, která bude obsahovat prvky, které mají ty dvě množiny společné. Přesněji bychom řekli, že nová množina bude obsahovat prvky, které náleží do A a zároveň náleží do B. Průnik označujeme symbolem ∩. Definice:

$$A \cap B = \left\{x | x \in A \wedge x \in B\right\}$$

Příklad: A = {1, 3, 5, 7, 9} a B = {4, 5, 6, 7}. Průnik je roven A ∩ B = {5, 7}. Další příklad: A = {a, b, c, d, e} a B = {f, g, h, i, j}. Průnik je roven: A ∩ B = ∅. Tyto množiny nemají žádný společný prvek, takže průnikem je prázdná množina.

Další vlastnosti:

• A ∩ A = A: průnikem dvou stejných množin dostaneme zase stejnou množinu.
• A ∩ B = B ∩ A: průnik je komutativní, nezáleží na pořadí.
• A ∩ ∅ = ∅: prázdná množina neobsahuje žádný prvek, takže určitě nemá žádný stejný prvek jako množina A.

Rozdíl množin

Rozdíl množin značíme standardním symbolem pro minus − anebo lépe takovým šikmým minus ∖. Rozdílem dvou množin A a B chápeme takovou množinu, která bude obsahovat všechny prvky z A a zároveň nebude obsahovat žádný prvek z B. Zkrátka se kouknete, které prvky má první množina společná s druhou a ty poté odstraníte. Definice:

$$A \setminus B = \left\{x \in A | x \notin B\right\}$$

Příklad: A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {4, 5, 6, 7, 8}. Rozdíl pak bude roven A ∖ B = {1, 2, 3}. Jsou to ty prvky, které nám zůstanou, když z množiny A odstraníme všechny prvky, které jsou v množině B. Další příklad: A = {a, b, d, e}. Rozdíl A ∖ A = ∅.

Další vlastnosti:

• A ∖ A = ∅: podobně jako když od sebe odečteme dvě stejná čísla, tak dostaneme nulu (např. 5 − 5 = 0), tak když odečteme dvě stejné množiny, dostaneme prázdnou množinu.
• A ∖ ∅ = A: prázdná množina neobsahuje žádný prvek, takže z množiny A nemůžeme odebrat žádný prvek.

Doplněk množiny

Doplněk množiny A se značí všelijak, ale asi nejčastěji čárkou A' nebo horním pruhem: $\overline{A}$. Pro jednoduchost budu používat čárku. Abychom spočítali doplněk množiny A, potřebujeme vědět, v jaké množině ten doplněk počítáme. Doplněk množiny totiž představuje všechny prvky, které nejsou v množině A, takže se jedná o jakýsi opak množiny A.

Máme-li jako hlavní množinu M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, pak doplněk množiny A = {2, 4, 6, 8, 10} v M je množina A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Obsahuje všechny prvky z M, které nejsou v A. Můžeme říci, že A' v M je rovno M ∖ A.

Pokud si za hlavní množinu vezmeme celá čísla, pak doplněk množiny sudých čísel budou lichá čísla. Doplněk množiny A = {1, 2, 3, 4} bude množina A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Pro doplněk platí, že aplikujme-li ho dvakrát, získáme zpět původní množinu. Například na celých číslech: doplněk k sudým číslům jsou lichá čísla. A doplněk k lichým číslům jsou zase sudá čísla. takže platí A = A'' (doplněk doplňku A).