Postupné úročení

V praxi se často stává, že banky uvádí roční úrokovou míru, kterou ale aplikují po měsících. Jak si spočítat, jaká je měsíční úroková míra?

Spořicí účet u Earth Banky

Earth banka se chlubí tím, že má jeden z nejlepších spořicích účtů s ročním úrokem 2 %. Přestože uvádí roční úrokovou míru, úroky připisuje každý měsíc, tedy za rok úrok připíše celkem 12krát. Jak vysoká je měsíční úrovoká míra? Tedy kolik peněz se nám připíše každý měsíc?

Vzorec můžeme odvodit z vzorce pro složený úrok. Jako první si ale spočítáme, kolik peněz budeme mít na účtě právě za jeden rok. Dejme tomu, že jsme na účet vložili 100 000 Kč. Pak za rok budeme mít +2 %, což dělá

$$ 100{,}000 \cdot 1{,}02 = 102{,}000 $$

Za rok budeme mít na účtě 102 000, získali jsme dva tisíce. Z vzorce pro složený úrok víme, že musí platit

$$ j_t = j_0\cdot(1+d)^t, $$

kde j₀ je počáteční vklad, d je úroková míra a t označuje, kolikrát jsme danou částku úročili. V tomto vzorci je neznámá právě písmeno d — my známe jen roční úrokovou sazbu, ale hledáme měsíční. Úročili jsme celkem 12krát, takže t = 12. Přitom víme, že j_t je rovno 102 000, po roce jsme naspořili 102 000 korun, to už jsme si spočítali z roční úrokové míry. Získáme tak rovnici:

$$ 102 000 = 100 000\cdot 1{,}02 = 100 000\cdot(1+d)^{12} $$

Vidíme, že hodnota (1 + d)¹² se musí rovnat hodnotě 1,02. Spočítáme-li dvanáctou odmocninu z hodnoty 1,02, získáme právě hodnotu 1 + d. Dvanáctá odmocnina má přibližně hodnotu 1,0016515813. Pokud každý měsíc budeme částku úročit mírou 0.0016515813, získáme celkově složený úrok 0,02 s výslednou částkou 102 000 korun.