✖

Kolik je 1 + 2 + 5 · 0? Aneb o prioritě násobení

Každou chvíli koluje na sociálních sítích hádanka podobná této. Jakému číslu je roven tento výraz?

$$1+2+5\cdot0=?$$

Tak si to pojďme spočítat spolu:

  • Jedna plus dva je rovno tři.
  • Tři plus pět je rovno osmi.
  • A konečně osm krát nula je rovno nule.

Počítali jste takto se mnou? Bohužel jsme oba počítali špatně ‼️‼️‼️ Zapomněli jsme totiž na klasickou školní poučku: násobení má přednost před sčítáním. Co to znamená?

Pokud máme v jednom výraze jak sčítání, tak násobení, tak jako první vynásobíme vše, co vynásobit lze, a až poté se vrátíme ke sčítání. V našem případě to znamená, že nejprve vynásobíme 5 · 0 a ignorujeme vše ostatní, co ve výrazu máme. Pět krát nula je nula. Tuto nulu zapíšeme zpět do výrazu:

$$1+2+5\cdot0=1+2+0$$

A teď už dostaneme výraz, ve kterém je pouze sčítání. Tam už je to jednoduché, 1 + 2 + 0 je rovno třem. Tedy

$$1+2+5\cdot0=3$$

Jiný příklad. Čemu je rovno toto?

$$1+2\cdot3+4=?$$

Opět, platí pravidlo, že jako první vyřešíme násobení a sčítání necháváme na pokoji. Jako první tak vyřešíme 2 · 3, což je 6:

$$1+2\cdot3+4=1+6+4$$

A teď už máme ve výraze jenom sčítání, to je jednoduché:

$$1+6+4=11$$

Proč to na kalkulačce vyjde jinak?

Pokud si stejné příklady zkusíte vypočítat na kalkulačce, může vám vyjít stejně špatný výsledek, jako když jsme poprvé počítali 1 + 2 + 5 · 0. Jak je to možné? Jsou v podstatě dvě možnosti: buď kalkulačka nezná priority operátorů nebo v průběhu výpočtu mačkáte rovnítko. Pokud totiž budete na kalkulačce mačkat čudlíky takto:

  • [Jedna] [plus] [dva] [rovná se] -> kalkulačka zobrazí 3,
  • [plus] [pět] [rovná se] -> kalkulačka zobrazí 8,
  • [krát] [nula] [rovná se] -> kalkulačka zobrazí 0.

Tak jste vlastně nespočítali příklad, který byl zadán nahoře, protože tím, že jste tam mačkali „rovná se“, jste místo jednoho výrazu spočítali tři různé nesouvisející výrazy. V posledním kroku zkrátka kalkulačka počítá výraz „osm krát nula“ a to je prostě nula, to vám kalkulačka ukazuje správně. Kalkulačka v tuhle chvíli neví, že tam předtím bylo nějaké násobení, které by mělo přednost.

Pokud nemačkáte „rovná se“, ale vypočítali jste celý příklad jako

  • [Jedna] [plus] [dva] [plus] [pět] [krát] [nula]

a kalkulačka stále zobrazí nulu, tak vaše kalkulačka nezná priority operátorů, což je klidně možné. V takovém případě si můžete výpočet ověřit na Seznamu nebo na Googlu, protože kromě vyhledávání umí také dobře počítat:

Jak změnit přirozenou prioritu operátorů: závorky

Pokud chceme prioritu operátorů změnit, můžeme k tomu použít závorky. Když bychom měli výraz

$$1+2\cdot5$$

a chtěli bychom nejdřív sečíst 1 + 2 a až výsledek násobit pěti, můžeme k tomu použít závorky takto:

$$(1 + 2) \cdot5$$

Výrazy v závorce mají přednost před běžnou prioritou operátorů. Jako první bychom tedy vypočítali 1 + 2 a násobení bychom nechali jak je. Získali bychom:

$$(1 + 2) \cdot5 = 3 \cdot5$$

což je rovno patnácti. Tedy

$$(1 + 2) \cdot5=15.$$

A co dělení a odečítání?

Odečítání je na tom stejně jako sčítání a dělení je na to stejně jako násobení. Tedy násobení a dělení má přednost před sčítáním a odečítáním. Násobení a dělení mají mezi sebou stejnou prioritu, stejně tak sčítání a odečítání.

Pro příklad se podívejme na tento výraz

$$1+2\cdot3-8:4$$

Tento výraz je shodný s tímto, do kterého dopíšeme závorky tak, aby se nezměnila priorita operátorů:

$$1+(2\cdot3)-(8:4)$$

A tedy

$$1+(2\cdot3)-(8:4)=1+6-2$$

což se rovná

$$1+6-2=5.$$

Pokud bychom měli násobení a dělení hned za sebou, počítáme je zleva doprava jak nám přijdou pod ruku:

$$6\cdot4:8$$

Nejprve vypočítáme 6 · 4, což je 24. Na dělení zatím nesaháme:

$$6\cdot4:8=24:8$$

A teď už jen vydělíme 24 osmi:

$$24:8=3.$$

Proč má násobení přednost před sčítáním

Mohli byste se zeptat, proč vlastně má násobení přednost před sčítáním. A je to dobrá otázka! Dá se říci, že za tím není nic jiného než dohoda matematiků, že to tak bude. Neexistuje žádné pravidlo, ze kterého by bylo zřejmé, že násobení musí mít přednost. Celá matematika by fungovala stejně dobře, i kdyby mělo sčítání vyšší prioritu než násobení. Anebo kdyby mělo stejnou prioritu a vždy bychom postupovali zleva doprava, jako když jsme to cvakali na kalkulačce.

Na druhou stranu, kdyby mělo sčítání přednost, potřebovali bychom více závorek. Pojďme si to ukázat třeba na trochu složitějším výrazu kvadratické funkce:

$$3x^2+4x+5$$

V současné matematice tento výraz znamená „tři krát x na druhou“, které sčítáme s „čtyři krát x“, což ještě sčítání s „pět“. Pokud by sčítání mělo přednost před násobením, museli bychom použít závorky, abychom dostali stejný výraz:

$$\left(3x^2\right)+(4x)+5$$

Protože tento výraz a jemu podobné používáme v matematice poměrně často, je pro matematiky praktičtější, pokud bude mít násobení přednost před sčítáním. Neexistuje ale žádný důvod, ze kterého by jednoznačně vyplývalo, že to musí být zrovna takhle a ne jinak.

Pokud vás to zajímá více, můžete si přečíst článek Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark, jehož autory jsou Olga Kosheleva a Vladik Kreinovich.

Není lepší používat závorky?

Často ano. Spousta lidí neví o tom, jak fungují priority násobení a sčítání a i tak jednoduchý výraz jako je

$$1+2\cdot3+4$$

může být špatně pochopen. Pokud chcete zvýšit šance, že lidé porozumí tomu, co chcete matematickým zápisem říci, zkrátka přidejte do výrazu závorky:

$$1+(2\cdot3)+4$$