Trachtenbergova metoda rychlého sčítání
Trachtenbergova metoda sčítání je postup, jak rychle sečíst několik čísel a následně jiným postupem ověřit, zda jsme počítali správně. Postup vymyslel ruský matematik Jakow Trachtenberg. Metodu si ukážeme na příkladě. Zkusíme si sečíst tato tři čísla:
$$9551+7375+9262=?$$
Jako první si čísla napíšeme pod sebe takto:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \end{array}$$
Nyní začneme sčítat sloupce a začneme zprava. Bude nás zajímat, jestli je součet větší nebo roven číslu 11. V prvním kroku sečteme poslední sloupec, tj. sečteme 1 + 5 + 2 = 8. Tento výsledek je menší než 11, takže číslo jen zapíšeme pod čáru:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
V druhém kroku sečteme druhý sloupec zprava, tj. sečteme 5 + 7 + 6 = 18. Trachtenbergova metoda říká, že kdykoliv je součet větší nebo roven 11, odečteme od součtu 11 a zapamatujeme si, kolikrát jsme to museli udělat. Protože 18 je větší než 11, odečteme 18 − 11 = 7. Číslo sedm zapíšeme pod čáru a protože jsme číslo 11 odečítali jednou, poznačíme si to o řádek níže:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{7}&8\\ &&&\color{red}{1}&\\ \end{array}$$
Když se ještě vrátíme k předchozímu sloupci úplně vpravo, tak vidíme, že součet byl roven osmi a tedy číslo 11 jsme nemuseli odečítat ani jednou. Doplníme tedy do tabulky číslo nula:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&7&\color{red}{8}\\ &&&1&\color{red}{0}\\ \end{array}$$
Pokračujeme dále třetím sloupcem zprava a sčítáme 5 + 3 + 2 = 10. Čísla deset se nelekneme, je to číslo menší než 11, takže ho zapíšeme pod čáru spolu s nulou, protože jsme nemuseli odečítat 11:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{10}&7&8\\ &&\color{red}{0}&1&0\\ \end{array}$$
A nyní sčítáme čtvrtý sloupec zprava, tj. první sloupec. Vidíme, že 9 + 7 = 16, což už je větší než 11. Odečteme tedy 16 − 11 = 5, zapamatujeme si, že jsme už jednou odečítali 11 a dále pokračujeme s číslem 5, které sečteme z číslem z třetího řádku, tj. počítáme 5 + 9 = 14. I číslo čtrnáct je větší než 11, takže odečteme 14 − 11 = 3. Tento výsledek zapíšeme pod čáru spolu s informací, že jsme museli jedenáctku odečíst dokonce dvakrát:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{3}&10&7&8\\ &\color{red}{2}&0&1&0\\ \end{array}$$
Do výsledku pod čarou ještě doplníme jeden sloupec se dvěma nulami, později se nám bude hodit:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Jak u Trachtenbergovy metody získat výsledek
Uděláme si další vodorovnou čáru a budeme sčítat poslední dva sloupečky. Jako první tak sečteme 8 + 0 = 8 a výsledek zapíšeme pod čáru:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&7&\color{red}{8}\\ 0&2&0&1&\color{red}{0}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
Od této chvíle už musíme postupovat složitěji a musíme sčítat čísle ve tvaru písmene „L“. Sečteme tedy dvě čísla z předposledního sloupce a přičteme k nim druhé číslo z předchozího sloupce, tedy sečteme 7 + 1 + 0 = 8:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&\color{red}{7}&8\\ 0&2&0&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\ \hline &&&\color{red}{8}&8\\ \end{array}$$
Dále sečteme 10 + 0 + 1 = 11. Nyní postupujeme jako u běžného sčítání: zapíšeme pouze poslední číslici 1 a desítka jde do dalšího kola.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&\color{red}{10}&7&8\\ 0&2&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0\\ \hline &&\color{red}{1}&8&8\\ \end{array}$$
V dalším kole sečteme 3 + 2 + 0 + 1 = 6, kde jednička na konci je ta jednička, která šla v předchozím kole dál (tj. za každou desítku, která šla dál, zde přičteme jedničku).
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&\color{red}{3}&10&7&8\\ 0&\color{red}{2}&\color{red}{0}&1&0\\ \hline &\color{red}{6}&1&8&8\\ \end{array}$$
A nyní konečně využijeme ten sloupeček se dvěma nulami — je tady čistě jen proto, abychom nezapomněli udělat poslední součet 0 + 0 + 2 = 2.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&\color{red}{2}&0&1&0\\ \hline \color{red}{2}&6&1&8&8\\ \end{array}$$
Toto je náš výsledek, který jsme získali Trachtenbergovou metodou. Tedy,
$$9551+7375+9262=26188.$$
Ověření mezivýsledků
Výhodou Trachtenbergovy metody, že můžeme relativně snadno ověřit, zda jsme počítali správně, aniž bychom prováděli celý výpočet znova. Trachtenberg nalezl způsob, jak ověřit mezivýsledky i finální výsledek úplně jiným postupem. Pokud tedy vypočítáte součet pomocí Trachtenbergovy metody a zároveň provedete zkoušku, můžete si být poměrně dost jistí, že jste počítali správně. Pojďme si tedy zkusit ověřit, že je náš výsledek správný.
Celý náš výpočet můžeme rozdělit do třech částí. Máme sčítance, mezivýsledky a výsledek:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&\color{red}{5}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\ +&\color{red}{7}&\color{red}{3}&\color{red}{7}&\color{red}{5}\\ +&\color{red}{9}&\color{red}{2}&\color{red}{6}&\color{red}{2}\\ \hline \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \hline \color{blue}{2}&\color{blue}{6}&\color{blue}{1}&\color{blue}{8}&\color{blue}{8}\\ \end{array}$$
V první fázi si ověříme, jestli jsme správně vypočítali mezivýsledky. K tomu musíme provést ciferaci sloupců. Ciferaci čísla získáme tak, že sečteme všechny cifry daného čísla. Například ciferaci čísla 456 získáme tak, že sečteme 4 + 5 + 6 = 15. Pokud je výsledek větší než 9, provedeme další ciferaci, tj. ještě vypočítáme 1 + 5 = 6. Ciferace čísla 456 je tak rovna 6.
Nyní se vrátíme ke sčítancům a vypočítáme ciferaci posledního sloupce, tj. spočítáme ciferaci čísla 152, spočítáme 1 + 5 + 2 = 8.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8} \end{array}$$
Dále spočítáme ciferaci předposledního sloupce, tj. čísla 576, což je 5 + 7 + 6 = 18, dále dostaneme 1 + 8 = 9.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{9}&8 \end{array}$$
Pro zbylé dva sloupce dostaneme 5 + 3 + 2 = 10, protože číslo má dvě cifry, získáme 1 + 0 = 1:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{1}&9&8 \end{array}$$
a pro první sloupec máme 9 + 7 + 9 = 25 a dále 2 + 5 = 7:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{7}&1&9&8 \end{array}$$
Výsledné ciferace jsou rovny: 7198. Nyní se podíváme na mezivýsledky:
$$\begin{array}{cccc} \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \end{array}$$
Zkopírujeme druhý řádek a vložíme ho na konec, tedy druhý řádek tam budeme mít dvakrát:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Teď provedeme totéž co se sčítanci. Z každého sloupce vytvoříme číslo a spočítáme jeho ciferaci. Zase můžeme začít od konce, takže dostáváme 8 + 0 + 0 = 8, další sloupec nám dá 7 + 1 + 1 = 9, další 10 + 0 + 0 = 10 a dále 1 + 0 = 1 a nakonec 3 + 2 + 2 = 7:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \hline 0&\color{red}{7}&\color{red}{1}&\color{red}{9}&\color{red}{8} \end{array}$$
V tuto chvíli porovnáme výsledky ciferací. Výsledné ciferace sčítanců nám daly číslo 7198, stejně jako ciferace mezivýsledků — počítali jsme tedy správně. Pokud by se tyto výsledky lišily, někde jsme udělali chybu. Buď během zkoušky, nebo během samotného sčítání.
Ověření výsledku
Ověřit, že jsme správně spočítali výsledek, je už v tuto chvíli jednoduché. Spočítáme ciferaci výsledku a ciferaci ciferací a musí nám to vyjít shodně. Tedy, vezmeme si náš výsledek 26 188 a vypočítáme jeho ciferaci:
$$\begin{eqnarray} 2+6+1+8+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Teď vypočítáme ciferaci našich vypočítaným ciferací, tj. ciferaci čísla 7198:
$$\begin{eqnarray} 7+1+9+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Vidíme, že obě ciferace se rovnají sedmi, zkouška tedy dopadla dobře a my jsme počítali správně!