Ředění a míchání roztoků

Roztok vznikne, když například rozpustíme ethanol ve vodě. Získáme stejnorodou směs, která se tak skládá z rozpuštěné látky (ethanol) a z rozpouštědla (voda). Obvykle pod roztokem myslíme roztok v kapalném skupenství, ale obecně můžeme mít i roztok dvou pevných látek, například slitina bronzu.

Koncentrace roztoku

Koncentrace nám říká, jaké množství rozpuštěné látky v roztoku je. Máme několik způsobů, jak koncentraci udávat:

• Hmotnostní: kolik gramů rozpuštěné látky se nachází ve 100 g roztoku.
• Objemová: kolik mililitrů rozpuštěné látky se nachází ve 100 ml roztoku.
• Poměrná: kolik procent rozpuštěné látky se v roztoku nachází, například můžeme mít 40% roztok, což znamená, že je tam 40 ml látky na 100 ml roztoku.

Jakou koncentraci by měl roztok vody a ethanolu, pokud bychom tohoto roztoku měli 500 ml, z toho 150 ml by byl ethanol? Abychom získali objemovou koncentraci, potřebujeme vědět, kolik ml je obsaženo ve 100 ml. My ale víme, kolik ml je obsaženo v půl litru. Můžeme si pomoci trojčlenkou. Nejdřív si spočítáme, kolik ethanolu by bylo v 1 ml roztoku, což uděláme tak, že vydělíme množství ethanolu 500:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Když víme množství ethanolu v 1 ml, zjistíme množství ve 100 ml tak, že vynásobíme toto množství 100:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

Roztok tak má koncentraci 30 ml ethanolu na 100 ml. Jedná se tak o 30% roztok.

Směšovací rovnice

Pomocí směšovací rovnice můžeme vypočítat koncentraci roztoku, který získáme smícháním dvou různých roztoků. Představme si, že máme dva roztoky:

1. 500ml roztok, který obsahuje 30 % ethanolu,
2. 400ml roztok, který obsahuje 20 % ethanolu.

Roztok o jaké koncentraci získáme, když tyto roztoky smícháme? Označme si V₁ = 500 objem prvního roztoku, V₂ = 400 objem druhého roztoku a V = V₁ + V₂ objem výsledného roztoku.

Dále budeme potřebovat tzv. objemový zlomek, což je jen procentuální vyjádření koncentrace převedené do formy zlomku. První roztok o koncentraci 30 % tak má objemový zlomek $c_1=\frac{30}{100}$ a druhý roztok o koncentraci 20 % má objemový zlomek $c_2=\frac{20}{100}$. (Když bychom pracovali s gramy místo litrů, měli bychom hmotnostní zlomky, princip by byl stejný.) Výsledný roztok nechť má objemový zlomek c. Nyní si můžeme zapsat směšovací rovnici:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

V této rovnici je pro nás jediná neznámá výsledná koncentrace c. Všechny hodnoty nalevo od rovnítka známe ze zadání a výsledný objem V známe také, je to jen součet objemů V₁ a V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Dosadíme si konkrétní hodnoty za všechny proměnné:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

Na levé straně nyní vypočítáme součiny zlomků a na pravé straně jen sečteme objemy:

$$150+80=c\cdot 900$$

Nyní celou rovnici vydělíme 900, čímž nám na pravé straně zůstane pouze finální koncentrace c:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Sečteme čitatel a jen prohodíme levou a pravou stranu směšovací rovnice (typicky chceme mít neznámou nalevo):

$$c=\frac{230}{900}$$

To je náš výsledný objemový zlomek. Chceme-li získat poměrové vyjádření, spočítáme 230 děleno 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

Vyjádření v procentech získáme tak, že tento poměr vynásobíme 100, čímž získáme přibližně 25,6 %. Výsledný roztok bude mít koncentraci přibližně 25,6 % neboli má zhruba 25,6 ml ethanolu na 100 ml.

Čím zředit, abychom dostali kýžený roztok?

Můžeme ale potřebovat zjistit i trochu jinou otázku. Mějme opět 500ml roztok, který obsahuje 30 % ethanolu a druhý roztok, který obsahuje 55% ethanolu. Kolik ml druhého roztoku musíme smíchat s prvním, abychom získali 40% roztok? Opět použijeme směšovací rovnici

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Jedinou neznámou je pro nás V₂, vše ostatní známe. Oproti předchozímu případu totiž známe $c=\frac{40}{100}$, protože víme, jaký roztok chceme smíchat. Dosadíme známé hodnoty do směšovací rovnice:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Celou rovnici vynásobíme 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Vypočítáme součin na levé straně a roznásobíme závorku na pravé straně:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Odečteme 15 000 z obou stran rovnice:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Odečteme 40 · V₂ z obou stran rovnice:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Sečteme/odečteme co můžeme:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Odečteme pravou stranu:

$$15\cdot V_2=5000$$

Vydělíme obě strany rovnice 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Musíme tedy přilít zhruba 333 ml (třetinu litru) druhého 55% roztoku, abychom získali roztok o koncentraci 40 %. Můžeme si ověřit, jestli jsme počítali správně. První 500ml roztok obsahoval 30 % ethanolu, což znamená, že obsahoval 150 ml ethanolu. Pokud přilijeme 333 ml druhého 55% roztoku, tak ten obsahuje 183 ml ethanolu. Ve výsledku jsme tak získali roztok o objemu 500 ml + 333 ml, což je 833 ml, který obsahuje 150 ml + 183 ml což je 333 ml ethanolu. Když si spočítáme podíl

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Dostali jsme (po zaokrouhlení) 40% roztok ethanolu a vody.