Úlohy na společnou práci
Úlohy na společnou práci obvykle zahrnují dvě různé postavičky, které dělají stejnou práci různě dlouho. Úkolem je zjistit, jak dlouho budou danou práci dělat, pokud budou pracovat společně.
Ukázková úloha
Představte si, že hrajete nějakou hru, ve které bojujete proti drakovi. Paladin mečem rozseká draka za 30 sekund, zatímco Barbar ho kyjem rozmlátí dokonce za 20 sekund. Otázka zní, za jak dlouho by draka zabili, kdyby Barbar s Paladinem bojovali proti drakovi společně? Kolik „společné práce“ musí vynaložit?
Úlohu vyřešíme tak, že nejprve zjistíme, jak moc jednotliví nebojácní bojovníci ublíží drakovi za jednu sekundu. Protože Paladin zabije draka za 30 sekund, tak za jednu sekundu vezme drakovi 1/30 životů, jednu třicetinu životů. Pokud by měl drak 180 životů, tak aby ho Paladin zabil za třicet sekund, tak mu musí každou sekundu ubrat 180 / 30 = 6 životů (to je jedna třicetina jeho životů). Přitom 180 / 30 je totéž jako 180 · (1/30).
Barbar ho zabije za 20 sekund, takže drakovi ubere každou sekundu 1/20 jeho životů. Stejnému drakovi, který by měl 180 životů, by tak každou sekundu ubral 180 / 20 = 9 životů.
Takže Paladin drakovi ubere za sekundu 1/30 jeho životů, Barbar 1/20. Teď se ptáme, kolik sekund je potřeba k tomu, aby ho tito pánové zabili společnými silami? Můžeme se na to podívat postupně — kolik životů by drakovi ubrali za dvě sekundy?
$$ \frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac16 $$
Byla by to jedna šestina jeho životů. Sečteme 1/30 + 1/20, protože válečníci bojují spolu a sečteme to celkově dvakrát, protože bojují dvě sekundy. Vidíme, že to můžeme zobecnit tak, že když bojují x sekund, tak drakovi uberou
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} $$
životů. Teď už zbývá jediné — drak zemře, když mu uberou všechny životy. Všechny životy představuje číslo 1, protože ten zlomek 1/30 představuje třicetinu životů draka — číslo 1 je tak celkový počet životů draka. Předchozí výraz tak jen položíme roven jedné:
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} = 1 $$
a hledáme řešení. Celou rovnici vynásobíme 60, tím dostaneme:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{30}+x\cdot\frac{60}{20} &=& 60\\ x\cdot\frac{6}{3}+x\cdot\frac{6}{2} &=& 60\\ 2x+3x &=& 60\\ 5x &=& 60\qquad/\cdot\frac15\\ x &=& 12 \end{eqnarray}$$
Vychází nám, že x = 12. To znamená, že draka zabijí za 12 sekund. To není špatné.
Můžeme si to zkusit ověřit dosazením konkrétních čísel. Měli jsme tu draka se 180 životy a výsledek říká, že spolu ho zabijí za 12 sekund. Paladin tomuto drakovi ubere 6 životů za sekundu, Barbar 9. To znamená, že Paladin celkem drakovi za 12 sekund ubere 12 · 6 = 72 životů a Barbar 12 · 9 = 108 životů. Celkem mu ubrali 72 + 108 = 180 životů, což sedí s tím, že mu ubrali všechny životy.
Projděte si další řešené příklady na společnou práci:
Příklady
- Toníček by si hrozně rád koupil nový mobil. Dohodl se s maminkou, která mu řekla, že mu bude každý týden dávat kapesné a že po 60 týdnech bude mít akorát peněz na vytoužený mobil. Jenže Toníček není dnešní a tak zašel i za tatínkem. Ten mu také přislíbil peníze a řekl mu, že na nový mobil bude mít dokonce už po 30 týdnech. Za jak dlouho ve skutečnosti Toníček bude mít nový mobil, když bude brát týdenní kapesné jak od maminky, tak od tatínka?
Od maminky dostane Toníček každý týden 1/60 ceny mobilu, od tatínka pak 1/30 ceny mobilu. Rovnici sestavíme úplně stejně jako v předchozím případě:
$$ x\cdot\frac{1}{60}+x\cdot\frac{1}{30} = 1 $$
Výraz x · 1/60 + x · 1/30 nám určuje, kolik ceny mobilu bude mít Toníček naspořeno po x týdnech. Protože se ptáme, kdy bude mít akorát na onen mobil, pokládáme tento výraz rovný jedné. Pokud by chtěl koupit tři mobily, bylo by na pravé straně číslo tři.
Rovnici vyřešíme. Jako první ji vynásobíme 60:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{60}+x\cdot\frac{60}{30} &=& 60\\ x\cdot\frac{1}{1}+x\cdot\frac{2}{1} &=& 60\\ x+2x &=& 60\\ 3x &=& 60\qquad /\cdot\frac13\\ x &=& 20 \end{eqnarray}$$
Výsledkem je, že Toníček bude mít nový mobil za 20 dnů. Můžeme si to opět ověřit dosazením reálných hodnot: pokud by mobil stál 9000, tak by od maminky dostával každý týden 1/60 této ceny, tj. 150 korun. Od tatínka by dostával 1/30 této ceny, což je 300 korun. No, má docela štědré rodiče. Za 20 týdnů by od maminky obdržel 20 · 150 = 3000 korun, kdežto od tatínka by získal 20 · 300 = 6000 korun. Celkem by dostal 3000 + 6000 = 9000 korun.
- Do bazénu vedou celkem tři potrubí. Jedno naplní bazén za 100 minut, další za 75 minut a poslední za 50 minut. Za jak dlouho naplní bazén, když se budou napouštět ze všech tří trubek?
Tento příklad je opět stejný jako v předchozích případech, pouze máme místo dvou aktérů společné práce tři aktéry. Rovnice tak bude vypadat:
$$ x\cdot\frac{1}{100}+x\cdot\frac{1}{75}+x\cdot\frac{1}{50} = 1 $$
Rovnici vynásobíme 150 a pokračujeme v úpravách dále:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{150}{100}+x\cdot\frac{150}{75}+x\cdot\frac{150}{50} &=& 150\\ x\cdot\frac{3}{2}+x\cdot\frac{2}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 150\\ \frac32x+2x+3x &=& 150\\ \frac32x+5x &=& 150\qquad /\cdot 2\\ 3x + 10x &=& 300\\ 13x &=& 300\qquad/\cdot\frac{1}{13}\\ x &=& \frac{300}{13} \end{eqnarray}$$
Hezčí výsledek už z toho nezískáme, bazén se napustí za 300/13 minut, což je přibližně 23 minut.
- Firma Kosím a seču poseče louku za deset hodin. Firma Trhám fialky dynamitem poseče louku za šest hodin. Za kolik hodin by tyto firmy posekaly dvě takové louky, pokud by pracovaly společně?
Kolik toho obě firmy posekají za x hodin? To už je klasický výraz:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} $$
Protože ale chceme, aby posekaly dvě louky, tak nebude na pravé straně rovnice 1, ale bude tam 2:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} = 2 $$
Dále už probíhá výpočet stejně. Vynásobíme celou rovnici 30 a upravujeme:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{30}{6}+x\cdot\frac{30}{10} = 60\\ x\cdot\frac{5}{1}+x\cdot\frac{3}{1} = 60\\ 5x+3x&=& 60\\ 8x&=& 60\qquad/ \cdot \frac18\\ x &=& \frac{60}{8}\\ x &=& \frac{15}{2}\\ x &=& 7{,}5 \end{eqnarray}$$
Obě louky by posekaly za sedm a půl hodiny.
- Jedna žena porodí dítě za devět měsíců. Za kolik měsíců porodí dítě devět žen?