Lomené výrazy
Lomený výraz je zlomek, který má v čitateli i jmenovateli nějaký mnohočlen. Lomený výraz se typicky snažíme zjednodušit na nějaký kratší, hezčí výraz.
Základy
Takže ještě jednou, lomený výraz má následující tvar:
$$\frac{\mbox{mnohočlen}}{\mbox{mnohočlen}}$$
Příkladem lomeného výrazu tak může být následující výraz:
$$\frac{x^2-1}{x+1}$$
Úkolem pak je zjednodušit tento výraz. Při zjednodušování využíváme stejných postupů jako když upravujeme mnohočleny, takže využijeme například vytýkání a různé užitečné vzorce. Další kapitola shrnuje nejpoužívanější úpravy.
Lomený výraz by měl ve jmenovateli obsahovat nějakou proměnnou, například o tomto neříkáme, že se jedná o lomený výraz:
$$\frac{2x+3}{2}$$
U lomeného výrazu také obvykle určujeme podmínky, za kterých má lomený výraz smysl. U lomeného výrazu totiž platí, že jmenovatel nesmí být roven nule, protože jak víme, nulou se nedělí.
Techniky
Při úpravě výrazů používáme mnohé techniky, zkusím sepsat nějaký souhrn těch běžných. V prvé řadě je to krácení zlomků. Takže pokud máme v čitateli i jmenovateli výrazy, které mezi sebou jen násobíme, můžeme krátit:
$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$
Zde jsme pokrátili proměnnou a. Pokud by zlomek vypadal takto
$$\frac{2a+10}{5a}\ne\frac{2+10}{5},$$
tak krátit nemůžeme. Čitatel je v součtu, takže krácení není povoleno. Často se stane, že sice jmenovatel nebo čitatel zlomku je ve tvaru součtu, ale můžeme v daném výraze něco vytknout a poté už krátit můžeme. Například ve zlomku
$$\frac{5a+6ab}{2a}$$
máme čitatel ve tvaru součtu, ale můžeme vytknout a a následně pokrátit
$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$
Častou úpravou je také rozložení něčeho podle nějakého vzorce. Nahoře jsme měli lomený výraz
$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$
Pokud aplikujeme na čitatel vzorec
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$
tak dostaneme nový lomený výraz
$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$
a zde už můžeme zkrátit celou závorku (x + 1):
$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$
Pak samozřejmě různé sčítání a násobení mnohočlenů, úpravy mocnin, sčítání zlomků apod.
První příklad
Zadání příkladu:
$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$
Vidíme, že v čitateli i jmenovateli můžeme vytknout dvojku, kterou pak můžeme následně zkrátit:
$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$
V čitateli dále můžeme ještě vytknout trojku:
$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$
Celý výraz a + 2b můžeme pokrátit a zůstane nám jen trojka:
$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac31=3$$
Podmínky tohoto lomeného výrazu:
$$a+2b\ne0$$
Druhý příklad
Zadání příkladu:
$$\left(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$
V prvním kroku odečteme zlomky ve vnitřní závorce:
$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$
Dále roznásobíme závorku ve jmenovateli. Bystřejší studenti si mohou všimnout, že můžeme aplikovat vzorec a2 − b2:
$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$$
Ve jmenovateli prvního zlomku máme stejný výraz jako v čitateli druhého zlomku a vzhledem k tomu, že tyto zlomky násobíme, můžeme tímto výrazem pokrátit:
$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$
Teď musíme aplikovat trochu hrubé práce a roznásobit a sečíst závorky v čitateli a nakonec jednoduše pokrátit:
$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$
$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$
Podmínky určíme dle zadání. Tam jsou celkem tři zlomky, žádný ze jmenovatelů se nesmí rovnat nule.
$$\begin{eqnarray} x&\ne&2\\ x&\ne&-2\\ x&\ne&0 \end{eqnarray}$$
Třetí příklad
Zadání dalšího lomeného výrazu:
$$\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1}\right)$$
Takže jako první opět nudně sečteme a odečteme výrazy v závorkách. První rozdíl bude jednoduchý, protože oba zlomky mají stejného jmenovatele.
$$\left(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$
roznásobíme a sečteme výrazy v čitatelích:
$$\left(\frac{2b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$
V prvním zlomku pokrátíme proměnnou b a rozšíříme dvojku o a, abychom ji mohli přičíst k prvnímu zlomku:
$$\left(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a}\right)\cdot\frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$
Sečteme zlomky v první závorce a v druhém zlomku vytkneme v čitateli a.
$$\frac{2+2a}{a}\cdot\frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$
Tak, teď můžeme pokrátit a:
$$\frac{2+2a}{\fbox{a}}\cdot\frac{\fbox{a}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$
Nyní jen vynásobíme výraz vlevo se zlomkem.
$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$
Z první závorky vytkneme dvojku:
$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$
Teď můžeme zkrátit (1 + a) (ve jmenovateli je stejný výraz, jen opačně a + 1).
$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$
A to je finální zjednodušené lomený výraz, s tímto výrazem už nejde nic rozumného dělat. Podmínky:
$$\begin{eqnarray} ab&\ne&0\rightarrow a,b\ne0\\ a&\ne&-1\\ b&\ne&-1 \end{eqnarray}$$
Dělení mnohočlenů
Lomené výrazy můžete také vyřešit pomocí algoritmu na dělením mnohočlenů mnohočlenem. Může to být výhodné v případě, kdy nelze použít nějaký klasický prostředek na úpravy výrazů.