Lomené výrazy

Lomený výraz je zlomek, který má v čitateli i jmenovateli nějaký mnohočlen. Lomený výraz se typicky snažíme zjednodušit na nějaký kratší, hezčí výraz.

Základy

Takže ještě jednou, lomený výraz má následující tvar:

$$\frac{\text{mnohočlen}}{\text{mnohočlen}}$$

Příkladem lomeného výrazu tak může být následující výraz:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Úkolem pak je zjednodušit tento výraz. Při zjednodušování využíváme stejných postupů jako když upravujeme mnohočleny, takže využijeme například vytýkání a různé užitečné vzorce. Další kapitola shrnuje nejpoužívanější úpravy.

Lomený výraz by měl ve jmenovateli obsahovat nějakou proměnnou, například o tomto neříkáme, že se jedná o lomený výraz:

$$\frac{2x+3}{2}$$

U lomeného výrazu také obvykle určujeme podmínky, za kterých má lomený výraz smysl. U lomeného výrazu totiž platí, že jmenovatel nesmí být roven nule, protože jak víme, nulou se nedělí.

Techniky

Při úpravě výrazů používáme mnohé techniky, zkusím sepsat nějaký souhrn těch běžných. V prvé řadě je to krácení zlomků. Takže pokud máme v čitateli i jmenovateli výrazy, které mezi sebou jen násobíme, můžeme krátit:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Zde jsme pokrátili proměnnou a. Pokud by zlomek vypadal takto

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

tak krátit nemůžeme. Čitatel je v součtu, takže krácení není povoleno. Často se stane, že sice jmenovatel nebo čitatel zlomku je ve tvaru součtu, ale můžeme v daném výraze něco vytknout a poté už krátit můžeme. Například ve zlomku

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

máme čitatel ve tvaru součtu, ale můžeme vytknout a a následně pokrátit

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Častou úpravou je také rozložení něčeho podle nějakého vzorce. Nahoře jsme měli lomený výraz

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Pokud aplikujeme na čitatel vzorec

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

tak dostaneme nový lomený výraz

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

a zde už můžeme zkrátit celou závorku (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Pak samozřejmě různé sčítání a násobení mnohočlenů, úpravy mocnin, sčítání zlomků apod.

První příklad

Zadání příkladu:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vidíme, že v čitateli i jmenovateli můžeme vytknout dvojku, kterou pak můžeme následně zkrátit:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

V čitateli dále můžeme ještě vytknout trojku:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Celý výraz a + 2b můžeme pokrátit a zůstane nám jen trojka:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Podmínky tohoto lomeného výrazu:

$$a+2b\ne 0$$

Druhý příklad

Zadání příkladu:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

V prvním kroku odečteme zlomky ve vnitřní závorce:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Dále roznásobíme závorku ve jmenovateli. Bystřejší studenti si mohou všimnout, že můžeme aplikovat vzorec a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Ve jmenovateli prvního zlomku máme stejný výraz jako v čitateli druhého zlomku a vzhledem k tomu, že tyto zlomky násobíme, můžeme tímto výrazem pokrátit:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Teď musíme aplikovat trochu hrubé práce a roznásobit a sečíst závorky v čitateli a nakonec jednoduše pokrátit:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Podmínky určíme dle zadání. Tam jsou celkem tři zlomky, žádný ze jmenovatelů se nesmí rovnat nule.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Třetí příklad

Zadání dalšího lomeného výrazu:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Takže jako první opět nudně sečteme a odečteme výrazy v závorkách. První rozdíl bude jednoduchý, protože oba zlomky mají stejného jmenovatele.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

roznásobíme a sečteme výrazy v čitatelích:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

V prvním zlomku pokrátíme proměnnou b a rozšíříme dvojku o a, abychom ji mohli přičíst k prvnímu zlomku:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Sečteme zlomky v první závorce a v druhém zlomku vytkneme v čitateli a.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Tak, teď můžeme pokrátit a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Nyní jen vynásobíme výraz vlevo se zlomkem.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Z první závorky vytkneme dvojku:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Teď můžeme zkrátit (1 + a) (ve jmenovateli je stejný výraz, jen opačně a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

A to je finální zjednodušený lomený výraz, s tímto výrazem už nejde nic rozumného dělat. Podmínky:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Dělení mnohočlenů

Lomené výrazy můžete také vyřešit pomocí algoritmu dělení mnohočlenů mnohočlenem. Může to být výhodné v případě, kdy nelze použít nějaký klasický prostředek na úpravy výrazů.