Sčítání a odečítání

Sčítání a odečítání jsou nejzákladnější matematické operace, které člověk potřebuje i v běžném životě. Přestože sčítat můžeme mnoho různých struktur, zde se budeme věnovat pouze sčítání celých čísel.

Sčítání

Operace sčítání se označuje znakem plus +. Při sčítání sčítáme sčítance, takže pokud chceme sečíst 2 + 3, pak dvojka i trojka se nazývá sčítanec. Výsledkem je pak součet, tedy pětka ve výrazu 2 + 3 = 5 je součet.

Sčítat můžeme prakticky jakákoliv čísla, ať už přirozená jako 1, 5, 157 nebo záporná -4, -74. Dále můžeme sčítat racionální čísla, neboli zlomky, reálná čísla jako například π a nakonec i komplexní čísla. Sčítat můžeme i další struktury — matice nebo vektory.

Sčítání se obvykle vysvětluje na hromadě jablek — pokud máte v košíku tři jablka a někdo vám dá další čtyři jablka, kolik vám jich zůstane? Zůstane vám jich 3 + 4 = 7.

Jak sčítat velká čísla

Pokud bych vám dal za úkol sečíst 17564 a 3272, asi byste už jen tak z hlavy neřekli výsledek. Proto se buď používá kalkulačka nebo tužka a papír. Jak to naťukat do kalkulačky vás učit nebudu, zaměřme se na postup na papíře.

Čísla, která chceme sečíst, si napíšeme pod sebe a zarovnáme je doprava — tak, aby stejné řády (desítky, stovky, …) byly pod sebou. Pod oběma čísly uděláme vodorovnou čáru. Takže by to vypadalo takto:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline \end{array}$$

Nyní budeme sčítat čísla, která jsou pod sebou. V případě, že součet čísel bude menší než deset, jednoduše pod čáru napíšeme onen součet. Postupujeme z pravé strany, od nejmenšího řádu. Takže jako první sčítáme 4 + 2, což se rovná šest. Šestka je menší než desítka, takže pod čáru napíšeme číslo šest:

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&&6 \end{array}$$

Pokračujeme dále, sčítáme 6 + 7. To se rovná 13, což už je větší než deset. V tuto chvíli napíšeme pod čáru pouze číslici na pozici jednotek, to jest napíšeme tam trojku (odečteme od třináctky desítku).

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&&3&6 \end{array}$$

Co se stalo s tou jedničkou, která jsme odstřihli? A co představuje? V tuto chvíli počítáme s druhým sloupcem zprava, což v čísle představuje desítky. Ve skutečnosti jsme tak sčítali desítky, tj. sčítali jsme 60 + 70 = 130. Rozhodli jsme se uchovat si číslo 30 a 100 jsme si odložili na později. Na kdy? Na další krok, na další sloupec. V příštím kroku se dostaneme ke sčítání číslic, které odpovídají stovkám. A my máme jednu stovku navíc, kterou jsme získali při sčítání desítek. Tak neuděláme nic jednoduššího, než že tu stovku přičteme v dalším kroku sčítání.

Takže místo toho, abychom v dalším kroku sčítali 5 + 2, budeme sčítat 5 + 2 + 1, kde ta jedničku představuje stovku, kterou jsme získali při sčítání v minulém kroku. Celkový výsledek je osm, což je menší než deset. Napíšeme tak pod čáru osmičku.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &&8&3&6 \end{array}$$

Do dalšího kroku nejde žádná stovka navíc, takže sčítáme pouze 7 + 3 = 10. Toto číslo není menší než deset, takže pod čáru napíšeme poslední číslici a jedna jde dále. Pod čáru tak napíšeme nulu a do dalšího kroku si uchováme jednu tisícovku navíc.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline &0&8&3&6 \end{array}$$

V posledním sloupci už máme číslici pouze v prvním řádku. Ve druhém řádku si tak představíme nulu a sečteme 1 + 0 a nesmíme zapomenout přičíst jedničku z minulého kroku: 1 + 0 + 1 = 2. Pod čáru zapíšeme dvojku.

$$\begin{array}{ccccc} 1&7&5&6&4\\ &3&2&7&2\\ \hline 2&0&8&3&6 \end{array}$$

Tím algoritmus končí a máme součet čísel 17564 + 3272.

Animace postupu sčítání na papíře

Do následujících políček můžete vložit dvě přirozená čísla a pak už se jen kochat animací celého postupu.

Grafické vyjádření sčítání

Sčítání můžeme graficky vyjádřit na číselné ose. Číselná osa je přímka, na které jsou vyznačena všechna čísla. Vypadat může takto:

Pokud bychom chtěli na této číselné ose ilustrovat sčítání dvou čísel, například 3+4, postupovali bychom takto: Nakreslili bychom úsečku, která by začínala v pořátku, tj. v nule a končila ve trojce. Při sčítání úsečku směřujeme napravo od bodu, kde jsme začali. Takže takto:

Nyní na číselnou osu naneseme čtyřku. V tuto chvíli ale už začínáme v čísle tři a odtud vedeme úsečku doprava o délce čtyři. Takto:

Bod, ve kterém druhá, zelená, úsečka skončila, představuje konečný výsledek: 3 + 4 = 7.

Odečítání

Odečítání je inverzní operace ke sčítání. Pokud k nějakému číslu a přičtete číslo b a zpětně odečtete číslo b, získáte zpět číslo a. Postup si ukážeme na příkladu 158 748 − 99 57. Stejně jako v případě sčítání si tato čísla zapíšeme pod sebe:

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline \end{array}$$

Pod čáru budeme psát výsledek, stejně jako u sčítání. Postupujeme zprava, od nejmenších řádů. Jako první tak budeme počítat jednotky. Pokud není horní číslo menší než spodní číslo, zapíšeme pod čáru rozdíl horní číslo − spodní číslo. (Nebo opačně — pokud je dolní číslo menší nebo je stejné, pak můžeme bez obav odečítat.) Na místě jednotek není horní číslo menší, takže napíšeme rozdíl 8 − 5 = 3.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&&3 \end{array}$$

Posuneme se o jedno číslo doleva, jsme na místě desítek. Tady už je horní číslo menší než spodní číslo. V tuto chvíli přičteme k hornímu číslu desítku a dále provedeme stejný výpočet: horní číslo + 10 − spodní číslo. Výsledek bude rovný 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&&7&3 \end{array}$$

V tuto chvíli jsme si u odečítání desítek vypomohli tím, že jsme tam započetli deset desítek, takže na to musíme myslet v dalším kroku. Deset desítek je jedna stovka, takže v dalším kroku odečteme o jednu stovku více. To znamená, že ke spodní pětce přičteme jedničku z předešlého kroku.

Na místě stovek tak řešíme, jestli je sedmička (horní číslo) menší než šestka (spodní číslo + 1). Není, takže můžeme provést standardní rozdíl horní minus spodní. I při rozdílu ale musíme ke spodnímu číslu přičíst jedničku, takže ve výsledku máme 7−(5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&&1&7&3 \end{array}$$

Do dalšího kroku nic nepřevádíme, v tomto kroku jsme si nepotřebovali vypůjčit žádné vyšší řády. Na místě tisícovek tak nic k ničemu nepřičítáme. Nicméně platí, že osmička v horním čísle je menší než devítka ve spodním čísle, takže budeme muset k hornímu číslu přičíst desítku. Dostaneme tak rozdíl 8 + 10 − 9 = 9.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&&9&1&7&3 \end{array}$$

do dalšího kroku převádíme jedničku, přičteme ji ke spodnímu číslu. Devět plus jedna je deset, horní pětka je menší než desítka. K hornímu číslu přičteme deset a provedeme rozdíl: 5 + 10−(9 + 1) = 5.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &&5&9&1&7&3 \end{array}$$

Opět jsme si pomohli vyšším řádem, takže převádíme jedničku do dalšího kroku. Tam nám ve spodní části chybí číslo, takže předpokládáme nulu. Když přičteme jedničku, získáme výsledek jedna. Horní číslo není menší než spodní (nyní máme horní číslo rovné spodnímu), takže můžeme jednoduše odečíst: 1 − 1 = 0.

$$\begin{array}{ccccccc} &1&5&8&7&4&8\\ -&&9&9&5&7&5\\\hline &0&5&9&1&7&3 \end{array}$$

A máme výsledek. Nulu na začátku můžeme odstranit a napsat: 158 748 − 99 575 = 59 173.

Grafické vyjádření odečítání

Odečítání můžeme stejně jako sčítání vyjádřit na číselné ose. Pouze při nanášení úsečky měníme její směr. Nenanášíme úsečku směrem napravo od současného bodu, ale nalevo. Takže pokud bychom měli odečíst 2 − 5, postupovali bychom takto. Nejprven bychom na číselnou osu nanesli dvojku, v kladném směru, protože dvojku je kladná, Odečítáme čtyřku, až ta bude obráceně.

Nyní do osy zaneseme druhou úsečky, která bude reprezentovat minus pět. Začenem v bodě, kde jsme skončili, tj. ve dvojce. Úsečku ale narýsujeme směrem zpátky, směrem doleva.