Mnohočleny
Kapitoly: Mnohočleny, Dělení mnohočlenů, Kořen mnohočlenu, Rozkládání mnohočlenů
Mnohočlen je výraz, který obsahuje proměnnou x a standardní operace sčítání, násobení a mocnění na celočíselný exponent. Tyto mnohočleny pak také můžeme sčítat, odečítat, násobit, dělit a umocňovat. Mnohočleny nazýváme také polynomy.
Základní vztahy
Příkladem jednoduchého mnohočlenu může být mnohočlen:
$$2x^2+5x-12$$
Obecně bychom mohli mnohočlen zapsat takto
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$
kde reálná čísla před x, tj an se nazývají koeficienty a n se nazývá stupeň mnohočlenu. Číslo n odpovídá nejvyšší mocnině mnohočlenu, kde an≠0. Pokud by bylo an rovno nule, potom bychom v podstatě zrušili proměnnou x, ke které koeficient náleží, neboť x na cokoliv je nula:
$$0^3=0.$$
Takže v případě prvně zmíněného mnohočlenu platí, že stupeň mnohočlenu je dva, protože nejvyšší nenulová mocnina proměnné x je dva. V případě jiného mnohočlenu
$$7x^2+5x^4+15x$$
by platilo, že stupeň mnohočlenu je 4 (nejvyšší exponent je 4). Obvykle zapisujeme polynomy sestupně vzhledem k použitým exponentům, abychom na prvním místě měli člen s nejvyšší mocninou. Takže předchozí mnohočlen můžeme přepsat takto:
$$5x^4+7x^2+15x.$$
Vidíme, že v mnohočlenu chybí člen, jehož proměnná by měla exponent tři a nula. To vůbec nevadí, zkrátka si představíme, že koeficient u těchto členů je nulový. Můžeme totiž napsat
$$5x^4+0x^3+7x^2+15x^1 + 0x^0.$$
Sice už tam máme všechny členy, ale polynom je zbytečně nepřehledný. Nulové členy tak obvykle vynecháváme.
Sčítání a odečítání mnohočlenů
Sčítání a odečítání mnohočlenů je celkem jednoduchá záležitost. Vždy jen sčítáme nebo odečítáme koeficienty u členů se stejným exponentem. Tedy platí
$$ax^n+bx^n=(a+b)x^n.$$
Jednoduchý příklad:
$$3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2$$
Pokud chceme sečíst delší mnohočleny, musíme vždy vybírat členy se stejným exponentem u proměnné.
$$\begin{eqnarray} (7x^3+5x^2+x) + (2x^3-3x^2+9x) =\\ =(7+2)x^3+(5-3)x^2+(1+9)x. \end{eqnarray}$$
Pokud se člen s daným exponentem v polynomu nevyskytuje, zůstává nezměněn (představte si, že v druhém polynomu je takový člen, ale s nulovým koeficientem).
$$(x^3+2x)+(4x^2+5x+3)=x^3+4x^2+7x+3$$
Odečítání polynomů funguje stejně jako sčítání, pouze druhý polynom vynásobíme minus jedničkou, tj. zaměníme všechna znaménka. Příklad následuje:
$$(3x^2+6x)-(2x^2+14x)=(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)$$
A to už je klasické sčítání mnohočlenů, takže to lze sečíst jako vždy:
$$(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)=x^2-8x$$
Připomínám, že pokud v mnohočlenu existuje záporný člen, tak se po této úpravě mění na kladný.
$$\begin{eqnarray} &&(x^2+2x)-(3x^2-10x)=\\ &=&(x^2+2x)+(-3x^2+10x)=\\ &=&-2x^2+12x \end{eqnarray}$$
Násobení polynomů
Při násobení mnohočlenů násobíme každý člen prvního mnohočlenu a každým členem druhého mnohočlenu. Koeficienty násobíme normálně, jako klasická reálná čísla. Exponenty u proměnných naopak pouze sčítáme podle pravidel počítání s mocninami. Takže následuje příklad:
$$(3x^2+4x)\cdot 5x^2=(3\cdot5)x^{2+2}+(4\cdot5)x^{1+2}=15x^4+20x^3$$
Tento příklad ještě pracoval s mnohočlenem o jednom členu, takže neukázal názorně násobení napříč všemi členy mnohočlenu. Drobně rozsáhlejší příklad následuje:
$$\begin{eqnarray} &&(x^3+2x)\cdot(4x^2+7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot7)x^{3+1}+(2\cdot4)x^{1+2}+(2\cdot7)x^{1+1} \end{eqnarray}$$
Pokud se v mnohočlenu objevuje znaménko minus, potom se normálně projeví v násobení.
$$\begin{eqnarray} &&(x^3-2x)\cdot(4x^2-7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot(-7))x^{3+1}+(-2\cdot4)x^{1+2}+\\ &+&(-2\cdot(-7))x^{1+1}=4x^5-7x^4-8x^3+14x^2 \end{eqnarray}$$
Úprava mnohočlenů
Při úpravě mnohočlenů klasicky chceme, abychom upravili mnohočlen tak, aby byl jednodušší. K tomu používáme věci jako rozšiřování, krácení, vytýkání, aplikaci vzorců a podobně. Tyto vzorce by bylo vhodné znát. Seznam užitečných vzorců lze nalézt jinde. My zde budeme používat některé z nich, které zmíním časem. Klasickým vzorcem, který se používá je vzorec
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Pokud by vás zajímalo, jak tento vzorec vznikl, stačí si to roznásobit.
$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&(a+b)(a+b)\\ &=&a^2+ab+ba+b^2\\ &=&a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$$
Začneme nějakým jednoduchým příkladem.
$$\begin{eqnarray} &&(a+b)^2+(a+2b)^2-3a\cdot2b=\\ &=&a^2+2ab+b^2+a^2+4ab+4b^2-6ab=\\ &=&2a^2+5b^2 \end{eqnarray}$$
Obě levé závorky jsme roznásobili podle vzorce, který jsem uvedl nahoře. Připomínám, že tu druhou závorku jsme rozložili jako
$$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2.$$
Dalším klasickým vzorcem je
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$
Následuje druhý příklad, tentokrát se zlomkem V čitateli i ve jmenovateli se nachází polynomy a my se je pokusíme upravit tak, aby se celý zlomek dal nějak hezky pokrátit. V prvním kroku v čitateli aplikujeme první vzorec, pouze opačně. Ve jmenovateli aplikujeme druhý vzorec. Na konci pouze pokrátíme (a + b).
$$\begin{eqnarray} \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}&=&\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{a+b}{a-b} \end{eqnarray}$$
Ve třetím příkladě si zkusíme aplikovat vytýkání. V čitateli nejprve vytkneme 3a3 a následně rozložíme závorku (4a2 − 1) podle vzorce a2 − b2, kde využijeme toho, že
$$1^2=1^1\rightarrow(a^2-1^2)=(a+1)(a-1).$$
Ve jmenovateli pak nejprve jednoduše vynásobíme dva první členy, také vytkneme 3a3 a nakonec vše pokrátíme.
$$\begin{eqnarray} \frac{12a^5-3a^3}{2a^2\cdot3a^2+3a^3}&=&\frac{3a^3(4a^2-1)}{6a^4+3a^3}\\ &=&\frac{3a^3(2a+1)(2a-1)}{3a^3(2a+1)}\\ &=&2a-1 \end{eqnarray}$$