Mnohočleny

Mnohočlen je výraz, který obsahuje proměnnou x a standardní operace sčítání, násobení a mocnění na nezáporný celočíselný exponent. Tyto mnohočleny pak také můžeme sčítat, odečítat, násobit, dělit a umocňovat. Mnohočleny nazýváme také polynomy.

Základní vztahy

Příkladem jednoduchého mnohočlenu může být mnohočlen:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Obecně bychom mohli mnohočlen zapsat takto

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

kde reálná čísla před x, tj a_n se nazývají koeficienty a n se nazývá stupeň mnohočlenu. Číslo n odpovídá nejvyšší mocnině mnohočlenu, kde a_n ≠ 0. Pokud by bylo a_n rovno nule, potom bychom v podstatě zrušili proměnnou x, ke které koeficient náleží, neboť nula krát cokoliv je nula:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Takže v případě prvně zmíněného mnohočlenu platí, že stupeň mnohočlenu je dva, protože nejvyšší nenulová mocnina proměnné x je dva. V případě jiného mnohočlenu

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

by platilo, že stupeň mnohočlenu je 4 (nejvyšší exponent je 4). Obvykle zapisujeme polynomy sestupně vzhledem k použitým exponentům, abychom na prvním místě měli člen s nejvyšší mocninou. Takže předchozí mnohočlen můžeme přepsat takto:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vidíme, že v mnohočlenu chybí člen, jehož proměnná by měla exponent tři a nula. To vůbec nevadí, zkrátka si představíme, že koeficient u těchto členů je nulový. Můžeme totiž napsat

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Sice už tam máme všechny členy, ale polynom je zbytečně nepřehledný. Nulové členy tak obvykle vynecháváme.

Sčítání a odečítání mnohočlenů

Sčítání a odečítání mnohočlenů je celkem jednoduchá záležitost. Vždy jen sčítáme nebo odečítáme koeficienty u členů se stejným exponentem. Tedy platí

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Jednoduchý příklad:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Pokud chceme sečíst delší mnohočleny, musíme vždy vybírat členy se stejným exponentem u proměnné.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Pokud se člen s daným exponentem v polynomu nevyskytuje, zůstává nezměněn (představte si, že v druhém polynomu je takový člen, ale s nulovým koeficientem).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Odečítání polynomů funguje stejně jako sčítání, pouze druhý polynom vynásobíme minus jedničkou, tj. zaměníme všechna znaménka. Příklad následuje:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

A to už je klasické sčítání mnohočlenů, takže to lze sečíst jako vždy:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Připomínám, že pokud v mnohočlenu existuje záporný člen, tak se po této úpravě mění na kladný.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Násobení polynomů

Při násobení mnohočlenů násobíme každý člen prvního mnohočlenu s každým členem druhého mnohočlenu. Koeficienty násobíme normálně, jako klasická reálná čísla. Exponenty u proměnných naopak pouze sčítáme podle pravidel počítání s mocninami. Takže následuje příklad:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Tento příklad ještě pracoval s mnohočlenem o jednom členu, takže neukázal názorně násobení napříč všemi členy mnohočlenu. Drobně rozsáhlejší příklad následuje:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Pokud se v mnohočlenu objevuje znaménko minus, potom se normálně projeví v násobení.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Úprava mnohočlenů

Při úpravě mnohočlenů klasicky chceme, abychom upravili mnohočlen tak, aby byl jednodušší. K tomu používáme věci jako rozšiřování, krácení, vytýkání, aplikaci vzorců a podobně. Tyto vzorce by bylo vhodné znát. Seznam užitečných vzorců lze nalézt jinde. My zde budeme používat některé z nich, které zmíním časem. Klasickým vzorcem, který se používá je vzorec

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Pokud by vás zajímalo, jak tento vzorec vznikl, stačí si to roznásobit.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Začneme nějakým jednoduchým příkladem.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Obě levé závorky jsme roznásobili podle vzorce, který jsem uvedl nahoře. Připomínám, že tu druhou závorku jsme rozložili jako

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Dalším klasickým vzorcem je

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Následuje druhý příklad, tentokrát se zlomkem. V čitateli i ve jmenovateli se nachází polynomy a my se je pokusíme upravit tak, aby se celý zlomek dal nějak hezky pokrátit. V prvním kroku v čitateli aplikujeme první vzorec, pouze opačně. Ve jmenovateli aplikujeme druhý vzorec. Na konci pouze pokrátíme (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Ve třetím příkladě si zkusíme aplikovat vytýkání. V čitateli nejprve vytkneme 3a³ a následně rozložíme závorku (4a² − 1) podle vzorce a² − b², kde využijeme toho, že

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Ve jmenovateli pak nejprve jednoduše vynásobíme dva první členy, také vytkneme 3a³ a nakonec vše pokrátíme.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Další příklady

Kapitoly: Mnohočleny, Dělení mnohočlenů, Kořen mnohočlenu, Rozkládání mnohočlenů

« Předchozí: Dělení nulou

Další: Dělení mnohočlenů »