Operace s vektory

Kapitoly: Vektory, Operace s vektory, Skalární součin, Vektorový součin

S vektory můžeme provádět základní operace jako je sčítání nebo násobení.

Sčítání vektorů

Chceme-li sečíst dva vektory, zobrazíme je do počátku souřadnicového systému a následně doplníme na kosodélník a uhlopříčka začínající v počátku bude výsledný vektor. Samozřejmě je připraven ilustrativní obrázek:

Součet dvou vektorů u+v Součet dvou vektorů u + v

Analyticky je pak součet vektorů součet příslušných souřadnic. Takže pokud máte dva vektory $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)$ a $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)$, pak součet $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}$ je roven

$$\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(u_1+v_1, u_2+v_2)$$

Pro ty vektory na obrázku platí: $\vec{\mathbf{u}}=(2, 4)$ a $\vec{\mathbf{v}}=(4, 1)$. Součet pak vypadá takto: $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(2+4, 4+1)=(6, 5)$. Tyto souřadnice odpovídají bodu D.

Pokud odečítáte vektory, je to stejné, jako byste přičítali opačný vektor. Analyticky:

$$\vec{\mathbf{u}}-\vec{\mathbf{v}}=(u_1-v_1, u_2-v_2)$$

Pokud sčítáme vektory, které leží na jedné přímce a ve stejném směru, pak jen natáhneme výsledný vektor. Pokud mají opačný směr, pak odečteme jejich velikost. Z obrázku to bude lépe vidět:

Součet vektorů ležící na stejné přímce Součet vektorů ležící na stejné přímce

Sčítání vektorů je komutativní a asociativní. Existuje vektor $\vec{\mathbf{0}}$, který nazýváme nulový vektor, pro který platí $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{0}}=\vec{\mathbf{u}}$, podobně jako u čísel. Ke každému vektoru $\vec{\mathbf{u}}$ existuje opačný vektor $-\vec{\mathbf{u}}$, pro který platí $\vec{\mathbf{u}}+(-\vec{\mathbf{u}})=\vec{\mathbf{0}}$.

Násobení vektoru číslem

Pokud vynásobíte vektor reálným číslem k, pak jen vynásobíte číslem k obě jeho souřadnice. V geometrické interpretaci se to projeví „natažením“ nebo „zmenšením“ vektoru, případně převrácením, pokud je k záporné.

Různé násobky vektoru u Různé násobky vektoru u

Podle obrázku je vidět, že když násobíme vektor u číslem k, tak:

  • Pokud je absolutní hodnota k menší než jedna, pak je vektor menší.
  • Pokud je absolutní hodnota k větší než jedna, pak je vektor větší.
  • Pokud je k záporné, pak má vektor opačný směr.

Lineární kombinace vektorů

V lineární algebře často používáme lineární kombinace vektorů. Pokud máme vektory $\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \vec{\mathbf{u}}_3, \ldots$, pak lineární kombinace těchto vektorů je

  • k násobek jednoho z vektorů $\vec{\mathbf{u}}_n$,
  • součet libovolných dvou či více vektorů,
  • kombinace předchozího — můžeme sečíst kn násobky libovolných $\vec{\mathbf{u}}_n$ vektorů.

Máme-li vektory $\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \ldots, \vec{\mathbf{u}}_n$, pak vektor $\vec{\mathbf{v}}$ je lineární kombinací vektorů $\vec{\mathbf{u}}_n$, pokud platí:

$$\vec{\mathbf{v}}=c_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_1+c_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_2+\ldots+c_n\cdot \vec{\mathbf{u}}_n;\quad c_i\in\mathbb{R}$$

Všimněte si, že koeficienty ci jsou reálná čísla, můžeme tak za ně zvolit nulu, čímž nám jeden z vektorů zcela vypadne. Příklad: máme vektory $\vec{\mathbf{u}}_1=(1,3), \vec{\mathbf{u}}_2=(0,4), \vec{\mathbf{u}}_3=(7,2)$. Toto jsou některé možné lineární kombinace:

$$\begin{eqnarray} (8, 9)&=&1\cdot(1, 3)+1\cdot(0, 4)+1\cdot(7, 2)\\ (22, 17)&=&1\cdot(1, 3)+2(0, 4)+3(7, 2)\\ (68, 38)&=&-2(1, 3)+6(0, 4)+10(7, 2)\\ (-\frac12, -\frac{43}{2})&=&-\frac12(1, 3)-5(0, 4)+0(7, 2)\\ \end{eqnarray}$$