Asociativita

Asociativita je vlastnost operací jako třeba sčítání nebo násobení. Schválně se podívejte na následující dva zápis sčítání:

$$(1 + 2) + 3\qquad \qquad 1 + (2 + 3)$$

Výrazy se liší jen v tom, kde je závorka. Liší se ale výsledky? Oba výrazy vedou na stejný výsledek, součet je vždy roven 6. Pokud umístění závorek nemá vliv na výsledek, řekneme, že operace je asociativní. Přesněji můžeme napsat, že operace $a \circ b$ je asociativní, pokud platí

$$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$$

Další operací, která je asociativní je násobení, protože platí

$$(2\cdot3)\cdot4 = 2\cdot(3\cdot4)=24$$

Operace, které nejsou asociativní

Odečítání asociativní není. Pro příklad si můžeme vzít výraz (10 − 4) − 3. Nejdříve vypočítáme rozdíl v zárovce a vyjde nám 6 − 3, což je rovno 3. Když si ale zkusíme vypočítat 10 − (4 − 3), tak zase nejdříve vypočítáme obsah závorky a dostanem 10 − 1, což je 9. Operace odečítání tedy není asociativní.

Podobně není asociativní operace dělení. Pro příklad si vezmeme výraz (64 / 4) / 2. Jako první si vypočteme závorku a dostaneme 16/2, což je 8. Když ale umístíme závorku jinam, dostaneme 64 / (4 / 2), tak po vypočtení závorky máme 64 / 2, což je 32. Operace dělení tak není asociativní.

Další typická operace, která není asociativní je mocnina:

$$\left(2^3\right)^4 \ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Asociativita se týká jedné operace!

Dávejte si pozor, že asociativita se vždy týká jedné operace. Pokud bychom měli výraz se třemi čísly, ale neměli stejnou operaci, nemůžeme asociativní pravidlo použít. Pro příklad:

$$(1+2)\cdot3$$

výraz obsahuje dvě operace — sčítání a násobení. Obě operace jsou samy o sobě asociativní, ale přesto v tuto chvíli nemůžeme asociativní pravidlo použít, nemůžeme to upravit na

$$1+(2\cdot3)$$

protože výraz obsahuje dvě různé operace. Abychom asociativní pravidlo mohli použít, musely by obě operace být sčítání nebo obě operace násobení.

Průnik a sjednocení

Průnik množin je asociativní. Pro příklad:

$$(\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}3,5\right\}) \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

bychom nejdřív upravili tak, že bychom vypočítali průnik množin v závorce na

$$\left\{1{,}3\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

A průnik těch množin je roven {1}. Když bychom prohodili závorky, dostali bychom

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap (\left\{1{,}3,5\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\})$$

a po úpravě závorky:

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}5\right\}$$

A zase bychom dostali {1}. Vidíme, že na umístění závorek nezáleží a proto je průnik množin asociativní. Podobně by asociativní byla sjednocení množin.

Skládání slov / zřetězení

Představte si, že bychom měli operaci sčítání pro části slov a znamenalo by to zkrátka spojení slov. Tedy „počí“ + „tač“ by bylo rovno slovu „počítač“. taková operace by byla asociativní. Pro příklad, když bychom napsali („žár“ + „ov“) + „ka“, tak bychom nejdřív sečtením závorky získali „žárov“ + „ka“, což by nám dalo slovo „žárovka“. Pokud bychom prohodili závorky „žár“ + („ov“ + „ka“), dostali bychom po sečtení v závorce „žár“ + „ovka“, což by nám zase dalo slovo „žárovka“.

Maximum nebo minimum je asociativní

Představme si operaci $a \lor b$, která nám vrátí větší ze dvou čísel. Taková operace by byla asocitivní. Pro příklad $(5 \lor 10) \lor 7$ bychom upravili na $10 \lor 7$ a to by bylo rovno 10. Desítka je z těch třech čísel největší. Když bychom přeskládali závorky, dostali bychom $5 \lor (10 \lor 7)$, po úpravě $5 \lor 10$, což je zase 10.

Minimum by se chovalo úplně stejně.