Pythagorova věta

Pythagorova věta je snad nejslavnější matematickou větou vůbec. O samotném Pythagorovi ze Samo si můžete počíst jinde. Teď se vrhneme na trojúhelníky.

Článek si také můžete pustit jako video na YouTube!

Obsah čtverce nad stranou trojúhelníku

Pythagorova věta nám říká užitečný vztah mezi obsahy čtverců, které sestrojíme pomocí stran pravoúhlého trojúhelníka. Představme si, že máme tento pravoúhlý trojúhelník:

Čtvercová síť v pozadí nám udává rozměry trojúhelníku. Platí, že délka odvěsny AC je rovna 4 a délka odvěsny BC je rovna 3. Jaká je ale délka strany AB, délka přepony trojúhelníku? Na první pohled délku zjistit nemůžeme. Ale můžeme ji zkusit dopočítat.

Jako první sestrojíme čtverec nad odvěsnou BC. Tím se myslí, že sestrojíme čtverec, který bude mít délke všech svých hrane rovnou délce strany BC, tj. tři. Do obrázku bychom to zakreslili takto:

Vznikl čtverec BCDE, který má délku všech hran rovnou 3. Jaký je obsah takového čtverce? Obsah čtverce vypočítáme tak, že vynásobíme délky dvou hran čtverce, takže obsah čtverce BCDE je rovný 3 · 3 = 9. Zakreslíme do obrázku čtverec nad druhou odvěsnou, nad odvěsnou AC. Takový čtverec bude mít délku hran 4.

Tento čtverec bude mít obsah 4 · 4 = 16. Nyní zakreslíme poslední čtverec, nad přeponou AB:

Jaký bude obsah tohoto nového čtverce zatím nevíme, protože neznáme délku hrany AB. Nyní ale můžeme hezky využít Pythagorovu větu. Ta totiž říká, že obsah tohoto poslední čtverce ABHI je roven součtu obsahů předchozích dvou čtverců. Tedy první dva čtverce měly obsahy 9 a 16, poslední čtverec tak — dle Pythagorovy věty — má obsah 9 + 16 = 25. Zakreslíme do obrázku:

A teď už zbývá zodpovědět poslední otázku — pokud má čtverec ABHI obsah 25, jaká je délka stran tohoto čtverce? Musí to být odmocnina z 25, takže délka strany AB je rovna $\sqrt{25}=5$. Když si to zpátky ověříme a vypočítáme obsah čtverce o délce hran 5, tak získáme obsah 5 · 5 = 25. A teď už se můžeme pustit do čísel a definic.

Definice

Pythagorova věta zní nějak takto: „Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami“. Matematicky se tato věta obvykle zapisuje takhle

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

kde a a b jsou délky odvěsen v trojúhelníku a c je délka přepony.

Co tedy Pythagorova věta říká a jak tento zápis souvisí s předchozím obrázkem? Obsah čtverce nad stranou v trojúhelníku znamená, že vezmeme čtverec, který má délku strany rovnou délce té dané strany a spočítáme jeho obsah. Obsah čtverce vypočítáme tak, že vynásobíme jednu délku strany s druhou délkou strany, tedy pokud má strana délku c, bude obsah S roven: S = c · c, což můžeme pomocí mocnin napsat jako S = c².

Tedy zápis c² = a² + b² můžeme číst právě jako „obsah čtverce o délce hrany c je roven součtu obsahů čtverců o délkách hran a a b“.

Ještě jednou zdůrazním, že věta platí pouze v pravoúhlém trojúhelníku, nikoli v obecném. Pythagorova věta se klasicky používá v případech, kdy znáte velikost dvou stran a potřebujete vypočítat délku zbývající strany. Pokud tak známe délku obou odvěsen a a b a chceme získat délku přepony c, pak spočítáme obsahy nad odvěsnami, tj. spočítáme a² + b². Tím získáme obsah čtverce nad přeponou c, tedy získáme c². Abychom získali délku strany c, tak jen ten vypočtený obsah odmocníme. Získáme tak vzorec:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

kde c je délka přepony a a, b jsou délky odvěsen. Pokud bychom naopak znali délku přepony a jedné odvěsny a chtěli bychom vypočítat délku zbývající odvěsny, spočítali bychom to stejně, jen bychom nejprve jednu z odvěsen osamostatnili v dané rovnici. Takže pokud známe c a b a chceme vypočítat a, tak v rovnici

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

osamostatníme a² tak, že odečteme b²:

$$c^2 - b^2 = a^2,$$

prohodíme levou a pravou stranu:

$$ a^2=c^2-b^2 $$

a nakonec odmocníme:

$$ a=\sqrt{c^2-b^2} $$

Příklad první

Mějme trojúhelník ABC, u kterého známe délky dvou stran: a = 3 a b = 4. Je to tentýž trojúhelník, který jsme měli na začátku. Otázka zní, jaká je délka zbývající strany, strany c? Zkusíme si to dopočítat pomocí uvedeného vzorečku. Trojúhelník znázorňuje následující obrázek:

Vidíme, že známe délky dvou odvěsen a chybí nám délka přepony. Proto použijeme první, neupravený vzorec:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Dosadíme za proměnné a a b délky stran:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Ve vzorci máme druhou mocninu — pro připomenutí platí následující vztah:

$$a^2=a\cdot a\quad\rightarrow\quad4^2=4\cdot4=16$$

Takže po vypočítání druhé mocniny získáváme:

$$\begin{eqnarray} c&=&\sqrt{3^2+4^2}\\ c&=&\sqrt{9+16}\\ c&=&\sqrt{25}\\ c&=&5 \end{eqnarray}$$

Výsledkem je, že délka strany c je rovna pěti.

Druhý příklad

V tomto příkladě si zkusíme vypočítat délku jedné z odvěsen, pokud jednu odvěsnu známe a k tomu délku přepony. Takže máme trojúhelník ABC o délkách stran |AB| = 10 a |BC| = 6. Trojúhelník zobrazuje následující obrázek:

Z obrázku vidíme, že přepona, tedy nejdelší strana, ne strana |AB|. Potřebujeme vypočítat délku strany |AC|. Dosadíme do druhého vzorce, pro výpočet délky odvěsny:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Abychom použili Pythagorovu větu správně, musíme si nyní uvědomit, co která proměnná značí. V tomto vzorečku je proměnná a délka strany, kterou chceme vypočítat, v našem případě strana |AC|. Proměnná c je délka přepony, nejdelší strany, v našem případě strana |AB|. A proměnná b je délka odvěsny, jejíž délku známe, v našem případě |BC|. Proto dosadíme do vzorce takto:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2-|BC|^2}$$

Dosadíme konkrétní délky stran, které známe:

$$|AC|=\sqrt{10^2-6^2}$$

Vypočítáme mocniny a odečteme:

$$|AC|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

A nakonec odmocníme:

$$|AC|=8$$

Délka strany |AC| je rovna osmi.

Slovní úloha

Představte si, že jdete ke kamarádce po rovné cestě. Ta cesta má délku 250 metrů. Po tomto čtvrt kilometru zahnete doleva a půjdete dalších 100 metrů a jste u své dobré kamarádky. Otázka zní, o kolik bude kratší cesta, když půjdete přímou cestou přes pole?

Jako první krok si spočítáme délku cesty, když půjdete po silnici. Půjdete nejdřív 250 metrů rovně a pak 100 metrů doleva. To je celkem 250 + 100 = 350 metrů. Teď je na řadě výpočet délky cesty přes pole. K tomu bude potřeba obrázek.

Jeden dílek na obrázku představuje 50 metrů. Jak by vypadala přímá cesta přes pole? Byla by to úsečka z bodu |A| do bodu |C|. Zakreslíme ji do obrázku červenou barvou.

Teď už vidíme, že pro výpočet délky cesty přes pole nám stačí vhodně aplikovat Pythagorovu větu. Hledáme délku přepony a známe délku obou odvěsen, takže použijeme první vzorec a doplníme do něj takto:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|CB|^2}$$

Dosadíme délky:

$$|AC|=\sqrt{250^2+100^2}$$

Umocníme:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Odmocníme a zaokrouhlíme:

$$|AC|=269$$

Délka cesty přes pole je 269 metrů. To ještě není konec příkladu, otázka zněla, o kolik je cesta přes pole kratší. Odečteme tak délky od sebe, rozdíl označíme r:

$$r=350-269=81$$

Odpovědí je, že cesta je kratší o přibližně 81 metrů.

Délka strany čtverce

Jaká je délka strany čtverce, který má délku úhlopříčky deset? Jak nám k tomu pomůže Pythagorova věta? Musíme ve čtverci nají nějaký pravoúhlý trojúhelník, který bychom použili k výpočtu délky strany čtverce. Jen pro připomenutí: čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Nakresleme si současnou situaci:

Vidíme, že ve čtverci se rázem objevily dva trojúhelníky, které mají pravý úhel, a které bychom mohli použít pro výpočet délky strany. Vezměme si třeba trojúhelník BCD. Strana DB je přepona, zbylé dvě jsou odvěsny. Délky odvěsen neznáme, ale známe délku přepony. Tyto odvěsny mají stejnou délku, tedy |BC| = |CD|. Použijeme základní Pythagorovu větu:

$$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2$$

Protože se ale odvěsny rovnají, stačí nám vypočíst druhou mocninu jedné odvěsny a tu vynásobit dvěma — nemusíme počítat druhou mocninu obou odvěsen, protože jsou stejné a vyšel by nám stejný výsledek. Můžeme tak napsat:

$$|BD|^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Známe délku strany BD, to je přepona. Délka je rovna deseti. Dosadíme do rovnice:

$$10^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Umocníme desítku:

$$100=2\left(|BC|^2\right)$$

Vydělíme dvěma:

$$\frac{100}{2}=|BC|^2$$

Zkrátíme zlomek:

$$50=|BC|^2$$

Teď už jsme skoro u cíle. Víme, že druhá mocnina délka strany čtverce se rovná 50. Pro zjištění délky strany tak musíme ještě rovnici odmocnit, což si můžeme dovolit, protože se pohybujeme v kladných číslech:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC|^2}$$

Odmocninu z padesáti necháme v tomto tvaru, na pravé straně rovnice ale můžeme zrušit odmocninu a mocninu, protože se navzájem vyruší.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Jestli chcete, můžete odmocnit i tu padesátku. Zaokrouhleně by vám vyšla sedmička:

$$7=|BC|$$

Takže platí, že délka strany čtverce je přibližně sedm, přesně odmocnina z padesáti.