Operace s vektory

S vektory můžeme provádět základní operace jako je sčítání nebo násobení.

Sčítání vektorů

Chceme-li sečíst dva vektory, zobrazíme je do počátku souřadnicového systému a následně doplníme na kosodélník a úhlopříčka začínající v počátku bude výsledný vektor. Samozřejmě je připraven ilustrativní obrázek:

Analyticky je pak součet vektorů součet příslušných souřadnic. Takže pokud máte dva vektory $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ a $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, pak součet $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ je roven

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Pro ty vektory na obrázku platí: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ a $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$. Součet pak vypadá takto: $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Tyto souřadnice odpovídají bodu D.

Pokud odečítáte vektory, je to stejné, jako byste přičítali opačný vektor. Analyticky:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Pokud sčítáme vektory, které leží na jedné přímce a ve stejném směru, pak jen natáhneme výsledný vektor. Pokud mají opačný směr, pak odečteme jejich velikosti. Z obrázku to bude lépe vidět:

Sčítání vektorů je komutativní a asociativní. Existuje vektor $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, který nazýváme nulový vektor, pro který platí $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, podobně jako u čísel. Ke každému vektoru $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ existuje opačný vektor $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$, pro který platí $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Násobení vektoru číslem

Pokud vynásobíte vektor reálným číslem k, pak jen vynásobíte číslem k obě jeho souřadnice. V geometrické interpretaci se to projeví „natažením“ nebo „zmenšením“ vektoru, případně převrácením, pokud je k záporné.

Podle obrázku je vidět, že když násobíme vektor u číslem k, tak:

• Pokud je absolutní hodnota k menší než jedna, pak je vektor menší.
• Pokud je absolutní hodnota k větší než jedna, pak je vektor větší.
• Pokud je k záporné, pak má vektor opačný směr.

Lineární kombinace vektorů

V lineární algebře často používáme lineární kombinace vektorů. Pokud máme vektory ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, pak lineární kombinace těchto vektorů je

• k-násobek jednoho z vektorů ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$,
• součet libovolných dvou či více vektorů,
• kombinace předchozího — můžeme sečíst k_n-násobky libovolných ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ vektorů.

Máme-li vektory ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, pak vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ je lineární kombinací vektorů ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, pokud platí:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Všimněte si, že koeficienty c_i jsou reálná čísla, můžeme tak za ně zvolit nulu, čímž nám jeden z vektorů zcela vypadne. Příklad: máme vektory ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$. Toto jsou některé možné lineární kombinace:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$